解絕對(duì)值不等式 1 ax b c ax b c c 0 型不等式的解法 1 若c 0 則 ax b c等價(jià)于 c ax b c ax b c等價(jià)于ax b c或ax b c 然后根據(jù)a b的值解出即可 2 若c 0 則 ax b c的解集為 ax b c的解集為R 2 x a x b c c 0 x a x b c c 0 型不等式的解法可通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法或利用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解 1 零點(diǎn)分區(qū)間法的一般步驟 令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式為零 并求出相應(yīng)的根 將這些根按從小到大排列 把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間 由所分區(qū)間去掉絕對(duì)值符號(hào)得若干個(gè)不等式 解這些不等式 求出解集 取各個(gè)不等式解集的并集就是原不等式的解集 2 利用絕對(duì)值的幾何意義由于 x a x b 與 x a x b 分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到a b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差 因此對(duì)形如 x a x b 0 或 x a x b c c 0 的不等式 利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀 3 f x g x f x 0 型不等式的解法 1 f x g x f x g x 或f x g x 2 f x g x g x f x g x 不等式的證明 2 證明不等式的常用方法 1 比較法一般步驟 作差 變形 判斷 結(jié)論 為了判斷作差后的符號(hào) 有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù) 或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式 也可變形為幾個(gè)因式的積的形式 以判斷其正負(fù) 2 綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出所要證明的不等式 這種方法叫綜合法 即 由因?qū)Ч?的方法 3 分析法證明不等式時(shí) 有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個(gè)不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題 如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備 那么就可以判定原不等式成立 這種方法叫作分析法 即 執(zhí)果索因 的方法 4 反證法和放縮法 先假設(shè)要證的命題不成立 以此為出發(fā)點(diǎn) 結(jié)合已知條件 應(yīng)用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進(jìn)行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實(shí)等 矛盾的結(jié)論 以說(shuō)明假設(shè)不正確 從而證明原命題成立 這種方法叫作反證法 證明不等式時(shí) 通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小 簡(jiǎn)化不等式 從而達(dá)到證明的目的 這種方法叫作放縮法 名師助學(xué) 1 a b 與 a b a b 與 a b a b 之間的關(guān)系 1 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng)a b 0時(shí) 等號(hào)成立 2 a b a b a b 當(dāng)且僅當(dāng) a b 且ab 0時(shí) 左邊等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)ab 0時(shí) 右邊等號(hào)成立 2 證明不等式的常用方法有比較法 綜合法 分析法 如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 如果待證命題是否定性命題 唯一性命題或以 至少 至多 等方式給出的 則考慮用反證法 如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān) 則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等 在必要的情況下 可能還需要使用換元法 構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明 含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)與解法 1 基本性質(zhì)法 對(duì)a R x a xa 2 平方法 兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào) 3 零點(diǎn)分區(qū)間法 含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式 可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào) 將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式 組 求解 4 幾何法 利用絕對(duì)值的幾何意義 畫(huà)出數(shù)軸 將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解 5 數(shù)形結(jié)合法 在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象 利用函數(shù)圖象求解 點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值號(hào) 轉(zhuǎn)化為一元一次不等式求解 證明不等式的常用方法 1 比較法 2 綜合法 3 分析法 4 反證法和放縮法 5 數(shù)學(xué)歸納法 不等式的證明與應(yīng)用 點(diǎn)評(píng) 均值不等式的應(yīng)用 解含參數(shù)的不等式存在性問(wèn)題 只要求出存在滿(mǎn)足條件的x即可 求解存在性問(wèn)題需過(guò)兩關(guān) 第一關(guān)是轉(zhuǎn)化關(guān) 先把存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題 不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題 而不等式的解集為 的對(duì)立面也是不等式的恒成立問(wèn)題 此兩類(lèi)問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題 即f x f x max f x a恒成立 a f x min 第二關(guān)是求最值關(guān) 求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí) 常用的方法有三種 利用絕對(duì)值的幾何意義 利用絕對(duì)值三角不等式 即 a b a b a b 利用零點(diǎn)分區(qū)間法 求解與絕對(duì)值不等式相關(guān)的最值問(wèn)題的方法 審題指導(dǎo) 1 將a 3代入f x 利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值號(hào) 2 根據(jù)x 1 2 去絕對(duì)值號(hào)解關(guān)于a的不等式 例3 已知函數(shù)f x x a x 2 1 當(dāng)a 3時(shí) 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范圍 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 當(dāng)x 1 2 時(shí) x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由條件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故滿(mǎn)足條件的a的取值范圍為 3 0 點(diǎn)評(píng) 研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí) 根據(jù)絕對(duì)值的定義 分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào) 轉(zhuǎn)化為分段函數(shù) 然后利用數(shù)形結(jié)合解決 是常用的思想方法 解含絕對(duì)值的不等式的基本思路可概括為十二字口訣 找零點(diǎn) 分區(qū)間 逐個(gè)解 并起來(lái)