第三篇考點(diǎn)回扣 回扣7解析幾何 知識(shí)方法回顧 易錯(cuò)易忘提醒 1 直線方程的五種形式 1 點(diǎn)斜式 y y1 k x x1 直線過(guò)點(diǎn)P1 x1 y1 且斜率為k 不包括y軸和平行于y軸的直線 2 斜截式 y kx b b為直線l在y軸上的截距 且斜率為k 不包括y軸和平行于y軸的直線 知識(shí)方法回顧 3 兩點(diǎn)式 直線過(guò)點(diǎn)P1 x1 y1 P2 x2 y2 且x1 x2 y1 y2 不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線 4 截距式 1 a b分別為直線的橫 縱截距 且a 0 b 0 不包括坐標(biāo)軸 平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 5 一般式 Ax By C 0 其中A B不同時(shí)為0 2 直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí) 1 兩直線平行l(wèi)1 l2 k1 k2 2 兩直線垂直l1 l2 k1 k2 1 提醒 當(dāng)一條直線的斜率為0 另一條直線的斜率不存在時(shí) 兩直線也垂直 此種情形易忽略 3 三種距離公式 3 兩平行線間的距離 d 其中兩平行線方程分別為l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 提醒 應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí) 注意兩平行線方程中x y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等 4 圓的方程的兩種形式 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 2 圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 5 直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 1 直線與圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 代數(shù)判斷法與幾何判斷法 2 圓與圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 代數(shù)判斷法與幾何判斷法 6 圓錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 7 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消去一個(gè)未知數(shù) 得到一個(gè)一元二次方程 若 0 則直線與橢圓相交 若 0 則直線與橢圓相切 若 0 則直線與橢圓相離 2 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法類(lèi)似于直線與橢圓 所不同的是 當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí) 直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn) 此時(shí) 聯(lián)立方程組 消去x 或y 得到的方程二次項(xiàng)系數(shù)為0 3 直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法類(lèi)似直線與橢圓 所不同的是 當(dāng)直線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸時(shí) 直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) 聯(lián)立方程組得到的是一次方程 8 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)求法解決直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題方法是 設(shè)而不求 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 進(jìn)行整體代入 即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 時(shí) 9 解決存在性問(wèn)題的解題步驟第一步 先假設(shè)存在 引入?yún)⒆兞?根據(jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程 組 或不等式 組 第二步 解此方程 組 或不等式 組 若有解則存在 若無(wú)解則不存在 第三步 得出結(jié)論 10 圓錐曲線中的證明問(wèn)題 1 圓錐曲線中的證明問(wèn)題 主要有兩類(lèi) 一類(lèi)是證明點(diǎn) 直線 曲線等幾何元素中的位置關(guān)系 如 某點(diǎn)在某直線上 某直線經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn) 某兩條直線平行或垂直等 另一類(lèi)是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系 相等或不等 2 解決證明問(wèn)題時(shí) 主要根據(jù)直線 圓錐曲線的性質(zhì) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等 通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用 代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明 以下是一些常用的證明方法 證 AB AC 可證A點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上 11 定點(diǎn)問(wèn)題 1 解析幾何中直線過(guò)定點(diǎn)或曲線過(guò)定點(diǎn)是指不論直線或曲線中的參數(shù)如何變化 直線或曲線都經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn) 2 求解直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路是把直線或曲線方程中的變量x y當(dāng)作常數(shù)看待 把方程一端化為零 既然是過(guò)定點(diǎn) 那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立 這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零 這樣就得到一個(gè)關(guān)于x y的方程組 這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn) 3 對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 若得到了直線方程的點(diǎn)斜式 y y0 k x x0 則直線必過(guò)定點(diǎn) x0 y0 若得到了直線方程的斜截式 y kx m 則直線必過(guò)定點(diǎn) 0 m 12 定值問(wèn)題 1 解析幾何中的定值是指某些幾何量 線段的長(zhǎng)度 圖形的面積 角的度數(shù) 直線的斜率等 的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān) 不依參數(shù)的變化而變化 而始終是一個(gè)確定的值 2 求證某幾何量為定值首先要求出這個(gè)幾何量的代數(shù)表達(dá)式 然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn) 整理 根據(jù)已知條件列出必要的方程 或不等式 消去參數(shù) 最后推出定值 3 求解定值問(wèn)題時(shí) 如果事先定值不知道 可以先對(duì)參數(shù)取特殊值 通過(guò)特殊值求出這個(gè)定值 然后再對(duì)一般情況進(jìn)行證明 13 最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多 解法靈活多變 但總體上主要有兩種方法 一是幾何方法 即利用曲線的定義 幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理 性質(zhì)等進(jìn)行求解 二是代數(shù)方法 即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè) 些 參數(shù)的函數(shù) 解析式 然后利用函數(shù)方法 不等式方法等進(jìn)行求解 常用的幾何方法有 1 直線外一定點(diǎn)P到直線上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng)度 2 圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為 PC R 最小值為 PC R R為圓C的半徑 3 過(guò)圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長(zhǎng)的弦即為經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑 最短的弦為過(guò)P點(diǎn)且與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑垂直的弦 4 圓錐曲線上本身存在最值問(wèn)題 如 橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a 長(zhǎng)軸長(zhǎng) 雙曲線上兩點(diǎn)間最小距離為2a 實(shí)軸長(zhǎng) 橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為 a c a c a c與a c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最小與最大距離 拋物線上的點(diǎn)中頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最近 常用的代數(shù)方法有 利用二次函數(shù)求最值 利用基本不等式求最值 利用導(dǎo)數(shù)法求最值 利用函數(shù)單調(diào)性求最值 14 主要結(jié)論 1 直線l1 A1x B1y C1 0與直線l2 A2x B2y C2 0的位置關(guān)系 平行 A1B2 A2B1 0 斜率相等 且B1C2 B2C1 0 在y軸上截距不相等 相交 A1B2 A2B1 0 重合 A1B2 A2B1 0且B1C2 B2C1 0 垂直 A1A2 B1B2 0 4 橢圓上一點(diǎn)M 焦點(diǎn)F1 F2 有 MF1 a c a c MF1 MF2 b2 a2 1 不能準(zhǔn)確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系 導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò) 2 易忽視直線方程的幾種形式的限制條件 如根據(jù)直線在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí) 忽視截距為0的情況 直接設(shè)為 1 再如 過(guò)定點(diǎn)P x0 y0 的直線往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為y y0 k x x0 等 易錯(cuò)易忘提醒 3 討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí) 易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解 如兩條直線垂直時(shí) 一條直線的斜率不存在 另一條直線斜率為0 4 在解析幾何中 研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí) 要注意有可能這兩條直線重合 在立體幾何中一般提到的兩條直線可理解為它們不重合 6 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中考生誤把r2當(dāng)成r 圓的一般方程中忽視方程表示圓的條件 7 易誤認(rèn)兩圓相切為兩圓外切 忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解 8 利用橢圓 雙曲線的定義解題時(shí) 要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件 如在雙曲線的定義中 有兩點(diǎn)是缺一不可的 其一 絕對(duì)值 其二 2a F1F2 如果不滿足第一個(gè)條件 動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù) 而不是差的絕對(duì)值為常數(shù) 那么其軌跡只能是雙曲線的一支 9 易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 尤其是方程中a b c三者之間的關(guān)系 導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤 10 已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí) 易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解 11 直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解 消元后得到的方程中要注意 二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零 判別式 0的限制 尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題時(shí) 必須先有 判別式 0 在求交點(diǎn) 弦長(zhǎng) 中點(diǎn) 斜率 對(duì)稱(chēng)或存在性問(wèn)題時(shí)都應(yīng)在 0 下進(jìn)行