第十一章算法初步 推理證明 復(fù)數(shù) 第四節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 考情展望 1 考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式 不等式或數(shù)列有關(guān)的命題 固本源練基礎(chǔ)理清教材 基礎(chǔ)梳理 1 判斷正誤 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 第一步是驗(yàn)證當(dāng)n 1時(shí)結(jié)論成立 2 所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明 3 用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 歸納假設(shè)可以不用 4 不論是等式還是不等式 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí) 由n k到n k 1時(shí) 項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng) 5 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 驗(yàn)證n 1時(shí) 左邊式子應(yīng)為1 2 22 23 6 用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí) n0 3 基礎(chǔ)訓(xùn)練 答案 1 2 3 4 5 6 解析 因?yàn)榧僭O(shè)n k k 2且k為偶數(shù) 時(shí)命題成立 故下一個(gè)偶數(shù)為k 2 解析 從n到n2共有n2 n 1個(gè)數(shù) 所以f n 中共有n2 n 1項(xiàng) 4 凸k邊形內(nèi)角和為f k 則凸k 1邊形的內(nèi)角和為f k 1 f k 解析 易得f k 1 f k 答案 答案 2k 精研析巧運(yùn)用全面攻克 考點(diǎn)一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 自主練透型 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型 其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式兩邊各有多少項(xiàng) 初始值n0是幾 2 由n k到n k 1時(shí) 除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n k時(shí)的式子 即充分利用假設(shè) 正確寫出歸納證明的步驟 從而使問題得以證明 自我感悟解題規(guī)律 考點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 自主練透型 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式 一是直接給出不等式 按要求進(jìn)行證明 二是給出兩個(gè)式子 按要求比較它們的大小 對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較 以免出現(xiàn)判斷失誤 最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論 常用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k時(shí)成立得n k 1時(shí)成立 主要方法有 放縮法 利用均值不等式法 作差比較法等 自我感悟解題規(guī)律 調(diào)研3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n 1 3n 2能被13整除 其中n為正整數(shù) 思路點(diǎn)撥 當(dāng)n k 1時(shí) 把42 k 1 1 3k 3配湊成42k 1 3k 2的形式是解題的關(guān)鍵 考點(diǎn)三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 師生共研型 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 P k P k 1 的整式變形是個(gè)難點(diǎn) 找出它們之間的差異 然后將P k 1 進(jìn)行分拆 配湊成P k 的形式 也可運(yùn)用結(jié)論 P k 能被p整除且P k 1 P k 能被p整除 P k 1 能被p整除 名師歸納類題練熟 已知n為正整數(shù) a Z 用數(shù)學(xué)歸納法證明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 好題研習(xí) 證明 當(dāng)n 1時(shí) an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 假設(shè)n k時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 根據(jù) 可知 對(duì)于任意n N an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵是搞清n k到n k 1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù) 看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解 考點(diǎn)四 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 自主練透型 2 平面上有n個(gè)圓 每兩圓交于兩點(diǎn) 每三圓不過同一點(diǎn) 求證這n個(gè)圓分平面為n2 n 2個(gè)部分 證明 當(dāng)n 1時(shí) n2 n 2 1 1 2 2 而一個(gè)圓把平面分成兩部分 所以n 1命題成立 設(shè)n k時(shí) k個(gè)圓分平面為k2 k 2個(gè)部分 則n k 1時(shí) 第k 1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn) 這2k個(gè)交點(diǎn)分第k 1個(gè)圓為2k段 每一段都將原來所在的平面一分為二 故增加了2k個(gè)平面塊 共有 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2個(gè)部分 對(duì)n k 1也成立 由 可知 這n個(gè)圓分割平面為n2 n 2個(gè)部分 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是 找項(xiàng) 即幾何元素從k個(gè)變成k 1個(gè)時(shí) 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析 事實(shí)上 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧 自我感悟解題規(guī)律 學(xué)方法提能力啟智培優(yōu) 審題視角 1 將n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 從而可猜想an 并用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 利用分析法 結(jié)合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可證 規(guī)范答題 歸納 猜想 證明 答題模板 第一步 尋找特例a1 a2 a3等 第二步 猜想an的公式 第三步 轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an 1的關(guān)系 第四步 用數(shù)學(xué)歸納法證明an 驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n 2 推證ak 1的表達(dá)式為k 1 補(bǔ)驗(yàn)n 1 說明對(duì)于n N 成立 第五步 分析法證明 名師指導(dǎo)