第二章函數(shù) 導數(shù)及其應用 第十二節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 二 考情展望 1 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 2 導數(shù)與方程 函數(shù)零點 不等式知識交匯命題 綜合考查分析問題和解決問題的能力 精研析巧運用全面攻克 調(diào)研1 2015 長沙模擬 已知函數(shù)f x ex x2 ax a 其中a是常數(shù) 1 當a 1時 求曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 若存在實數(shù)k 使得關(guān)于x的方程f x k在 0 上有兩個不相等的實數(shù)根 求k的取值范圍 解析 1 由f x ex x2 ax a 可得f x ex x2 a 2 x 當a 1時 f 1 e f 1 4e 所以曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程為y e 4e x 1 即y 4ex 3e 考點一 導數(shù)在方程 函數(shù)零點 中的應用 師生共研型 該類問題的求解 一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 極值等性質(zhì) 并借助函數(shù)圖象 根據(jù)零點或圖象的交點情況 建立含參數(shù)的方程 或不等式 組求解 實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一 名師歸納類題練熟 好題研習 考點二 導數(shù)在不等式中的應用 師生共研型 使用導數(shù)方法證明不等式或者研究在一定條件下的不等式問題 基本方法是通過研究函數(shù)性質(zhì)進行 這里首先要實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化 即把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)問題 構(gòu)造函數(shù)h x f x g x 再使用導數(shù)方法研究函數(shù)的性質(zhì) 如函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的最值 函數(shù)的值域等 本題是把比較大小的兩個式子構(gòu)造成函數(shù)關(guān)系 進行求導確定函數(shù)的單調(diào)性 進而求得最終結(jié)論 名師歸納類題練熟 設a為實數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 2 求證 當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 好題研習 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ln2 單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 2 1 ln2 a 2 證明 設g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知 當a ln2 1時 g x 的最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g(shù) x 0 所以g x 在R上單調(diào)遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g(shù) x g 0 而g 0 0 從而對任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 考點三 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 師生共研型 令h x 0 得x 80 當x 0 80 時 h x 0 h x 是增函數(shù) 當x 80時 h x 取到極小值h 80 11 25 h x 在 0 120 上只有一個極值 11 25是最小值 答 當汽車以80千米 小時的速度勻速行駛時 從甲地到乙地耗油最少 最少為11 25升 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 1 分析實際問題中各量之間的關(guān)系 列出實際問題的數(shù)學模型 寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f x 2 求函數(shù)的導數(shù)f x 解方程f x 0 3 比較函數(shù)在區(qū)間端點和f x 0的點的函數(shù)值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 回歸實際問題作答 提醒 對于實際問題 若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個極值點 那么該點也是最值點 自我感悟解題規(guī)律 好題研習 學方法提能力啟智培優(yōu) 所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化 進而得到解決的一種方法 一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題 將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題 將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題 該思想在利用導數(shù)研究函數(shù)中的應用具體體現(xiàn)在以下三個方面 1 與恒成立有關(guān)的參數(shù)范圍問題 2 用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題 3 證明不等式問題 思想方法 轉(zhuǎn)化與化歸思想在利用導數(shù)研究函數(shù)中的應用 典例 2014 浙江 已知函數(shù)f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值記為g a 1 求g a 2 證明 當x 1 1 時 恒有f x g a 4 規(guī)范解答 解 1 由a 0 1 x 1 當0 a 1時 若x 1 a 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是減函數(shù) 若x a 1 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函數(shù) 所以g a f a a3 若x 1 a h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 則h x 在 1 a 上是減函數(shù) 所以h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 令t a 2 3a a3 則t a 3 3a2 0 知t a 在 0 1 上是增函數(shù) 所以t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 當a 1時 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 得h x 3x2 3 此時h x 在 1 1 上是減函數(shù) 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 綜上 當x 1 1 時 恒有f x g a 4 跟蹤訓練 已知函數(shù)f x x3 ax2 a2x m a 0 1 若a 1時函數(shù)f x 有三個互不相同的零點 求實數(shù)m的取值范圍 2 若對任意的a 3 6 不等式f x 1在 2 2 上恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 名師指導