第三章三角函數(shù) 解三角形 第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例 考情展望 以實際問題為背景 考查利用正 余弦定理等知識和方法解決一些與測量 高度 距離 有關(guān)的實際問題 固本源練基礎(chǔ)理清教材 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題 高度問題 角度問題 計算面積問題 航海問題 物理問題等 2 實際應(yīng)用中的常用術(shù)語 基礎(chǔ)梳理 基礎(chǔ)訓(xùn)練 答案 1 2 3 4 2 若點A在點C的北偏東30 點B在點C的南偏東60 且AC BC 則點A在點B的 A 北偏東15 B 北偏西15 C 北偏東10 D 北偏西10 解析 由題意得 ACB 90 又AC BC CBA 45 而 30 90 45 30 15 點A在點B的北偏西15 答案 60 精研析巧運(yùn)用全面攻克 考情 研究測量距離問題 解決此問題的方法是 選擇合適的輔助測量點 構(gòu)造三角形 將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題 從而利用正 余弦定理求解 歸納起來常見的命題角度有 1 兩點都不可到達(dá) 2 兩點不相通的距離 3 兩點間可視但有一點不可到達(dá) 考點一 測量距離問題的典型題 多維探究型 這類實際應(yīng)用題 實質(zhì)就是解三角形問題 一般都離不開正弦定理和余弦定理 在解題中 首先要正確地選定或確定要求解的三角形 即所求量所在的三角形 若其他量已知則直接解 若有未知量 則把未知量放在另一確定三角形中求解 然后確定用正弦定理還是余弦定理 如果都可用 就選擇更便于計算的定理 多維思考技法提煉 考點二 測量高度的典型題 師生共研型 處理高度問題的注意事項 1 在處理有關(guān)高度問題時 要理解仰角 俯角的定義 視線在水平線上方 下方的角分別稱為仰角 俯角 2 在實際問題中 可能會遇到空間與平面 地面 同時研究的問題 這時最好畫兩個圖形 一個空間圖形 一個平面圖形 這樣處理起來既清楚又不容易搞錯 3 運(yùn)用正 余弦定理 有序地解相關(guān)的三角形 逐步求解問題的答案 注意方程思想的運(yùn)用 提醒 高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題 要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用 若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合 名師歸納類題練熟 好題研習(xí) 答案 80 考點三 測量角度的典型題 師生共研型 1 測量角度 首先應(yīng)明確方位角 方向角的含義 2 在解應(yīng)用題時 分析題意 分清已知與所求 再根據(jù)題意正確畫出示意圖 通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題 解題中也要注意體會正 余弦定理綜合使用的特點 3 測量角度問題的一般步驟 1 在弄清題意的基礎(chǔ)上 畫出表示實際問題的圖形 并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離 2 用正弦定理或余弦定理解三角形 3 將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解 同時注意把所求量放在有關(guān)三角形中 有時直接解此三角形解不出來 需要先在其他三角形中求解相關(guān)量 名師歸納類題練熟 好題研習(xí) 學(xué)方法提能力啟智培優(yōu) 在解決數(shù)學(xué)問題時 有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段 就是通過引入變量 尋找已知與未知之間的等量關(guān)系 構(gòu)造函數(shù) 然后借助函數(shù)的變化趨勢來分析或預(yù)測未知量的變化情況 這就是函數(shù)思想 在解三角形應(yīng)用舉例中 借助函數(shù)思想可以解決以下兩類問題 1 距離最短的追及問題 2 仰角 或視角 最大問題 求解此類問題時可先借助三角形中的正 余 弦定理建立等量關(guān)系 然后借助函數(shù)的知識 如二次函數(shù)最值的求法 導(dǎo)數(shù)等 探求最優(yōu)解 思想方法 函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用 跟蹤訓(xùn)練 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上 在小艇出發(fā)時 輪船位于港口O北偏西30 且與該港口相距20海里的A處 并正以30海里 小時的航行速度沿正東方向勻速行駛 假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里 小時的航行速度勻速行駛 經(jīng)過t小時與輪船相遇 1 若希望相遇時小艇的航行距離最小 則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少 2 為保證小艇在30分鐘內(nèi) 含30分鐘 能與輪船相遇 試確定小艇航行速度的最小值 名師指導(dǎo)