第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積 了解球 柱 錐 臺的表面積和體積的計算公式 整合 主干知識 1 空間幾何體的側面積和表面積 1 常見幾何體的側面展開圖 共頂點的三角形 若干個小梯形 扇環(huán) 2 多面體的表面積因為多面體的各面都是平面 所以多面體的表面積就是各個面的 即展開圖的面積 3 旋轉體的表 側 面積 面積之和 2 r2 2 rl 2 r r l 2 rl rl r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 質疑探究1 將圓柱 圓錐 圓臺的側面沿任意一條母線剪開鋪平分別會得到什么圖形 提示 矩形 扇形 扇環(huán) 質疑探究2 圓柱 圓錐 圓臺的側面積公式是如何導出的 提示 將其側面展開利用平面圖形面積公式導出 2 幾何體的體積 1 設棱 圓 柱的底面積為S 高為h 則體積V Sh 1 一個幾何體的三視圖如圖所示 則它的體積為 答案 B 2 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍 母線長為3 圓臺的側面積為84 則圓臺較小底面的半徑為 A 7B 6C 5D 3解析 設圓臺較小底面半徑為r 則另一底面半徑為3r 由S r 3r 3 84 解得r 7 答案 A 3 2014 陜西高考 將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉軸旋轉一周 所得幾何體的側面積是 A 4 B 3 C 2 D 解析 由幾何體的形成過程知所得幾何體為圓柱 底面半徑為1 高為1 其側面積S 2 rh 2 1 1 2 答案 C 答案 24 聚集 熱點題型 典例賞析1 1 2014 安徽高考 一個多面體的三視圖如圖所示 則該多面體的表面積為 幾何體的表面積與側面積 2 2015 廣州市調研 已知四棱錐P ABCD的三視圖如圖所示 則四棱錐P ABCD的四個側面中面積最大的是 思路索引 根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖 利用直觀圖的圖形特征求其表面積或側面積 答案 1 A 2 C 拓展提高 1 以三視圖為載體考查幾何體的表面積 關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當?shù)姆治?從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系 2 多面體的表面積是各個面的面積之和 組合體的表面積應注意重合部分的處理 3 圓柱 圓錐 圓臺的側面是曲面 計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算 而表面積是側面積與底面圓的面積之和 變式訓練 1 1 一個幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則該幾何體的表面積是 cm2 2 2014 濰坊市考前適應性訓練 如圖為某個幾何體的三視圖 則該幾何體的側面積為 A 16 4 B 12 4 C 16 8 D 12 8 2 該幾何體是半圓柱和一個三棱柱的組合體 其側面積為4 6 10 16 4 答案 1 4 12 2 A 典例賞析2 1 2015 遼寧省五校聯(lián)考 若某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則此幾何體的體積等于 cm3 空間幾何體的體積 2 2014 重慶高考 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 A 12B 18C 24D 30 思路索引 由三視圖分清是旋轉體 還是多面體或是組合體 然后求出計算體積所需要的量 代入公式 拓展提高 1 若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體 錐體或臺體 則可直接利用公式進行求解 2 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出 則常用轉換法 分割法 補形法等方法進行求解 3 若以三視圖的形式給出幾何體 則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖 然后根據(jù)條件求解 變式訓練 2 2015 鄭州市二測 一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示 單位 cm 其中正 主 視圖是直角三角形 側 左 視圖是半圓 俯視圖是等腰三角形 則這個幾何體的體積是 答案 A 典例賞析3 1 已知H是球O的直徑AB上一點 AH HB 1 2 AB 平面 H為垂足 截球O所得截面的面積為 則球O的表面積為 2 2015 安徽省 江南十校 聯(lián)考 一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示 圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形 則該幾何體外接球的體積為 球的組合體及球的性質 思路索引 1 利用球的截面性質求解三角形 2 尋找球的直徑與幾何體邊長間的關系 拓展提高 解決球與其他幾何體的切 接問題 關鍵在于仔細觀察 分析 弄清相關元素的關系和數(shù)量關系 選準最佳角度作出截面 要使這個截面盡可能多地包含球 幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關系 達到空間問題平面化的目的 備課札記 提升 學科素養(yǎng) 理 幾何體的展開與折疊問題 轉化與化歸思想的應用 注 對應文數(shù)熱點突破之三十三 1 有一根長為3 cm 底面直徑為2cm的圓柱形鐵管 用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈 并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端 則鐵絲的最短長度為 cm 2 如圖所示 在邊長為4的正方形紙片ABCD中 AC與BD相交于O 剪去 AOB 將剩余部分沿OC OD折疊 使OA OB重合 則以A B C D O為頂點的四面體的體積為 審題視角 1 可利用圓柱的側面展開圖 2 考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關系 溫馨提醒 1 解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是 展開 即將空間幾何體的 面 展開后鋪在一個平面上 將問題轉化為平面上的最值問題 2 如果已知的空間幾何體是多面體 則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開 把不在一個平面上的問題轉化到一個平面上 如果是圓柱 圓錐則可沿母線展開 把曲面上的問題轉化為平面上的問題 3 本題的易錯點是 不知道從哪條側棱剪開展平 不能正確地畫出側面展開圖 缺乏空間圖形向平面圖形的轉化意識 如圖 已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2cm 高為5cm 則一質點自點A出發(fā) 沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為 cm 答案 13 1 兩點注意 1 底面是梯形的四棱柱側放時 容易和四棱臺混淆 在識別時要緊扣定義 以防出錯 2 求組合體的表面積時 要注意各幾何體重疊部分的處理 2 兩種方法 1 割補法 求一些不規(guī)則幾何體的體積時 常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決 2 等積法 等積法包括等面積法和等體積法 等積法的前提是幾何圖形 或幾何體 的面積 或體積 通過已知條件可以得到 利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高 特別是在求三角形的高和三棱錐的高時 這一方法回避了具體通過作圖得到三角形 或三棱錐 的高 而通過直接計算得到高的數(shù)值