第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 結(jié)合具體函數(shù) 了解函數(shù)奇偶性的含義 會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性 了解函數(shù)周期性 最小正周期的含義 會判斷 應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性 整合 主干知識 1 奇函數(shù) 偶函數(shù)的概念及圖象特征 原點 任意 f x f x f x f x 原點 y軸 質(zhì)疑探究1 如果函數(shù)f x 是奇函數(shù) 那么是否一定有f 0 0 提示 只有在x 0處有定義的奇函數(shù) 才有f 0 0 2 周期性 1 周期函數(shù) 對于函數(shù)y f x 如果存在一個非零常數(shù)T 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時 都有 那么就稱函數(shù)y f x 為周期函數(shù) 稱T為這個函數(shù)的周期 2 最小正周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中 的正數(shù) 那么這個最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 存在一個最小 質(zhì)疑探究2 周期函數(shù)y f x x R 的周期唯一嗎 提示 不唯一 若T是函數(shù)y f x x R 的一個周期 則nT n Z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nT f x 1 給出下列命題 函數(shù)f x 0 x 0 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 若函數(shù)y f x a 是偶函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對稱 若函數(shù)y f x b 是奇函數(shù) 則函數(shù)y f x 關(guān)于點 b 0 中心對稱 函數(shù)f x 為R上的奇函數(shù) 且f x 2 f x 則f 2016 2016 其中正確的是 A B C D 解析 錯誤 因為函數(shù)f x 0的定義域x 0 沒有關(guān)于原點對稱 所以f x 0 x 0 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 正確 函數(shù)y f x a 關(guān)于直線x 0對稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于直線x a對稱 正確 函數(shù)y f x b 關(guān)于點 0 0 中心對稱 則函數(shù)y f x 關(guān)于點 b 0 中心對稱 錯誤有已知條件可知f 2016 0 故選C 答案 C 2 2014 湖南高考 已知f x g x 分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù) 且f x g x x3 x2 1 則f 1 g 1 A 3B 1C 1D 3解析 因為f x 是偶函數(shù) g x 是奇函數(shù) 所以f 1 g 1 f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 故選C 答案 C 答案 A 4 已知f x ax2 bx是定義在 a 1 2a 上的偶函數(shù) 那么a b的值是 5 設(shè)函數(shù)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 若當(dāng)x 0 時 f x lgx 則滿足f x 0的x的取值范圍是 解析 畫草圖 由f x 為奇函數(shù)知 f x 0的x的取值范圍為 1 0 1 答案 1 0 1 聚集 熱點題型 判斷函數(shù)的奇偶性 思路點撥 確定函數(shù)的奇偶性時 必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱 若對稱 再驗證f x f x 或其等價形式f x f x 0是否成立 名師講壇 判斷函數(shù)奇偶性的兩個方法 1 定義法 2 圖象法 提醒 1 確定函數(shù)的奇偶性時 必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱 若對稱 再驗證f x f x 或其等價形式f x f x 0是否成立 2 分段函數(shù)奇偶性的判斷 要注意定義域內(nèi)x取值的任意性 應(yīng)分段討論 討論時可依據(jù)x的范圍取相應(yīng)的解析式化簡 判斷f x 與f x 的關(guān)系 得出結(jié)論 也可以利用圖象作判斷 函數(shù)周期性的應(yīng)用 解析 1 作出函數(shù)f x 的圖象 由圖象可知選D f 105 5 f 4 27 2 5 f 2 5 f 2 5 2 2 5 3 由題意 得f 2 5 2 5 f 105 5 2 5 答案 1 D 2 2 5 名師講壇 1 判斷函數(shù)周期性的兩個方法 1 定義法 2 圖象法 2 判斷函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論若對于函數(shù)f x 定義域內(nèi)的任意一個x都有 1 f x a f x a 0 則函數(shù)f x 必為周期函數(shù) 2 a 是它的一個周期 提醒 應(yīng)用函數(shù)的周期性時 應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi) 3 函數(shù)周期性的重要應(yīng)用利用函數(shù)的周期性 可將其他區(qū)間上的求值 求零點個數(shù) 求解析式等問題 轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題 進(jìn)而求解 2 已知f x 是R上最小正周期為2的周期函數(shù) 且當(dāng)0 x 2時 f x x3 x 則函數(shù)y f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上與x軸的交點的個數(shù)為 A 6B 7C 8D 9 2 f x 是最小正周期為2的周期函數(shù) 且0 x 2時 f x x3 x x x 1 x 1 當(dāng)0 x 2時 f x 0有兩個根 即x1 0 x2 1 由周期函數(shù)的性質(zhì)知 當(dāng)2 x 4時 f x 0有兩個根 即x3 2 x4 3 當(dāng)4 x 6時 f x 0有兩個根 即x5 4 x6 5 x7 6也是f x 0的根 故函數(shù)f x 的圖象在區(qū)間 0 6 上與x軸交點的個數(shù)為7 答案 1 D 2 B 典例賞析3 1 2015 西安模擬 已知f x 是定義在R上的奇函數(shù) 若對于x 0 都有f x 2 f x 且當(dāng)x 0 2 時 f x ex 1 則f 2013 f 2014 A 1 eB e 1C 1 eD e 1 2 2015 濟(jì)南模擬 若函數(shù)f x ax2 2a2 a 1 x 1為偶函數(shù) 則實數(shù)a的值為 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 解析 1 由于f x 是定義在R上的奇函數(shù) 若對于x 0 都有f x 2 f x 且當(dāng)x 0 2 時 f x ex 1 所以f 2013 f 1 e 1 f 2014 f 2014 f 0 0 故可知f 2013 f 2014 e 1 故選B 3 由已知f x 在 0 上為增函數(shù) 且f a f a f a f 2 f a f 2 a 2 即a 2或a 2 答案 1 B 2 C 3 a a 2或a 2 名師講壇 函數(shù)奇偶性應(yīng)用的常見題型及求解策略 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 方程思想求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 2015 鄭州模擬 若函數(shù)f x x2 x a 為偶函數(shù) 則實數(shù)a 審題角度 一審 由f x f x 利用方程思想求解 二審 由函數(shù)圖象的平移變換利用數(shù)形結(jié)合思想求解 解析 方法一 因為f x 為偶函數(shù) 所以f x f x 即x2 x a x 2 x a x a x a 恒成立 所以a 0 方法二 函數(shù)y x2為偶函數(shù) 函數(shù)y x a 是由偶函數(shù)y x 向左或向右平移了 a 個單位得到的 要使整個函數(shù)為偶函數(shù) 則需a 0 答案 0 點評 本題考查函數(shù)奇偶性的定義 及函數(shù)圖形的平移變換 答案 C 1 一條規(guī)律 奇 偶函數(shù)定義域的特點奇 偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件 2 二個性質(zhì) 奇 偶函數(shù)的兩個性質(zhì) 1 若奇函數(shù)f x 在x 0處有定義 則f 0 0 2 設(shè)f x g x 的定義域分別是D1 D2 那么在它們的公共定義域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 3 三條結(jié)論 與周期性和對稱性有關(guān)的三條結(jié)論 1 若對于R上的任意x都有f 2a x f x 或f x f 2a x 則y f x 的圖象關(guān)于直線x a對稱 2 若對于R上的任意x都有f 2a x f x 且f 2b x f x 其中a b 則y f x 是以2 b a 為周期的周期函數(shù) 3 若對于定義域內(nèi)的任意x都有f x a f x b a b 則函數(shù)f x 是周期函數(shù) 其中一個周期為T 2 a b