第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理解等差數(shù)列的概念 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系 并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 了解等差數(shù)列與一次函數(shù) 二次函數(shù)的關(guān)系 整合 主干知識(shí) 1 等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 通常用字母d表示 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 那么它的通項(xiàng)公式是 從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差 公差 an a1 n 1 d 都等于同一個(gè)常數(shù) 4 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為 4 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn 也是等差數(shù)列 n m d ak al am an 2d 5 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為 的等差數(shù)列 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 md 7 等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d0 則Sn存在最 值 大 小 質(zhì)疑探究 等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)分別用了什么方法 提示 前者用的是疊加法 后者用的是倒序相加法 1 給出下列命題 若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù) 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 其中正確的命題是 A B C D 解析 錯(cuò)誤 若這些常數(shù)都相等 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 若這些常數(shù)不全相等 這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列 正確 如果數(shù)列 an 為等差數(shù)列 根據(jù)定義an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 則an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根據(jù)定義數(shù)列 an 為等差數(shù)列 正確 當(dāng)d 0時(shí)為遞增數(shù)列 d 0時(shí)為常數(shù)列 d 0時(shí)為遞減數(shù)列 錯(cuò)誤 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有當(dāng)d 0時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù) 否則不是 答案 B 2 2015 海淀質(zhì)檢 等差數(shù)列 an 中 a2 3 a3 a4 9 則a1a6的值為 A 14B 18C 2D 27 答案 A 3 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于 A 58B 88C 143D 176 答案 B 4 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 Sn為其前n項(xiàng)和 a7 a5 4 a11 21 Sk 9 則k 答案 3 聚集 熱點(diǎn)題型 典例賞析1 1 2013 安徽高考 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 S8 4a3 a7 2 則a9 A 6B 4C 2D 2 2 2015 石家莊市高三質(zhì)檢 已知等差數(shù)列 an 滿足a2 3 Sn Sn 3 51 n 3 Sn 100 則n的值為 A 8B 9C 10D 11 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 思路點(diǎn)撥 在等差數(shù)列 an 的an Sn a1 d n的五個(gè)量中 知其三 求其二 答案 1 A 2 C 思考 本例 1 中 已知條件不變 則Sn 答案 n2 11n 名師講壇 此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程 組 進(jìn)而可求其它問題 結(jié)合性質(zhì)求解 可簡(jiǎn)化計(jì)算 變式訓(xùn)練 1 1 2015 荊州市高三調(diào)研 公差不為零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a4是a3與a7的等比中項(xiàng) 且S10 60 則S20 A 80B 160C 320D 640 2 2015 鄭州市高三質(zhì)檢 等差數(shù)列 an 的前7項(xiàng)和等于前2項(xiàng)和 若a1 1 ak a4 0 則k 答案 1 C 2 6 思路點(diǎn)撥 由題設(shè)條件構(gòu)造 an 1 an an an 1 的值 并累加求和 等差數(shù)列的判定或證明 名師講壇 等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 1 定義法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an 1 an等于同一個(gè)常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項(xiàng)公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 得出Sn An2 Bn后 根據(jù)Sn an的關(guān)系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 提醒 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法 而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷 典例賞析3 1 2014 重慶高考 在等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3 a5 10 則a7 A 5B 8C 10D 14 2 2015 武漢市高三聯(lián)考 已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則使得Sn達(dá)到最大的n是 A 18B 19C 20D 21 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 解析 由題意 得a1 2d a1 4d 2a1 6d 4 6d 10 解得d 1 所以a7 a1 6d 2 6 8 故選B 2 a1 a3 a5 105 a3 35 a2 a4 a6 99 a4 33 則 an 的公差d 33 35 2 a1 a3 2d 39 Sn n2 40n 因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí) n 20 答案 1 B 2 C 3 D 名師講壇 利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略 答案 5 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 理 函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值中的應(yīng)用 注 對(duì)應(yīng)文數(shù)熱點(diǎn)突破之二十五 在等差數(shù)列 an 中 已知a1 20 前n項(xiàng)和為Sn 且S10 S15 求當(dāng)n取何值時(shí) Sn取得最大值 并求出它的最大值 審題視角 由a1 20及S10 S15可求得d 進(jìn)而求得通項(xiàng) 由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正 或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù) 利用二次函數(shù)求最值的方法求解 方法點(diǎn)睛 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值 常用的方法 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 便可求得和的最值 將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn An2 Bn A B為常數(shù) 看做二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 20 公差d 2 則前n項(xiàng)和Sn的最大值為 答案 110 1 一個(gè)推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2 兩個(gè)技巧 1 若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí) 可設(shè)為 a 2d a d a a d a 2d 2 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí) 可設(shè)為 a 3d a d a d a 3d 3 兩種思想 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式涉及 五個(gè)量 知三求二 需運(yùn)用方程思想求解 特別是求a1和d 2 等差數(shù)列 an 中 an pn q p q為常數(shù) Sn An2 Bn A B為常數(shù) 均是關(guān)于 n 的函數(shù) 充分運(yùn)用函數(shù)思想 借助函數(shù)的圖象 性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過程