第3節(jié)合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義 能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理 體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 了解演繹推理的含義 掌握演繹推理的 三段論 并能運(yùn)用 三段論 進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理 了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異 整合 主干知識(shí) 1 合情推理 全部對(duì)象都具有這些特征 某些已知特征 一般結(jié)論 部分 整體 個(gè)別 一般 特殊 特殊 歸納 類比 2 演繹推理 1 定義 從 出發(fā) 推出 下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 2 特點(diǎn) 演繹推理是由 的推理 3 模式 三段論 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 一般性的原理 某個(gè)特殊情況 一般到特殊 一般原理 特殊情況 M是P S是M 質(zhì)疑探究 演繹推理所獲得的結(jié)論一定可靠嗎 提示 不一定 只有前提是正確的 推理形式是正確的 結(jié)論才一定是真實(shí)的 錯(cuò)誤的前提則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論 A 大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B 小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C 推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D 大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)解析 圖為對(duì)于函數(shù)y ax 當(dāng)a 1時(shí)為增函數(shù) 當(dāng)0 a 1時(shí) 為減函數(shù) 所以大前提錯(cuò)誤 故選A 答案 A 2 給出下列三個(gè)類比結(jié)論 ab n anbn與 a b n類比 則有 a b n an bn loga xy logax logay與sin 類比 則有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2與 a b 2類比 則有 a b 2 a2 2a b b2 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 3解析 只有 正確 故選B 答案 B 3 觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10 A 28B 76C 123D 199解析 觀察規(guī)律 歸納推理 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知 等式右端的值 從第三項(xiàng)開(kāi)始 后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和 照此規(guī)律 則a10 b10 123 答案 C 根據(jù)以上事實(shí) 由歸納推理可得 當(dāng)n N 且n 2時(shí) fn x f fn 1 x 聚集 熱點(diǎn)題型 典例賞析1 1 觀察下列等式 12 1 12 22 3 12 22 32 6 12 22 32 42 10 照此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 歸納推理 思路索引 1 觀察等式的左右兩側(cè)各自的特點(diǎn)歸納可解 2 總結(jié)點(diǎn)的變化規(guī)律 再看直線和曲線的變化規(guī)律 寫出此 語(yǔ)言 命題相似的內(nèi)容 解析 1 12 1 12 22 1 2 12 22 32 1 2 3 12 22 32 42 1 2 3 4 拓展提高 本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng) 歸納猜想一般規(guī)律 歸納推理是由部分到整體 由特殊到一般的推理 由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確 通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多 越具有代表性 那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠 它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法 類比推理 思路索引 1 由平面性質(zhì) S1與S2之比為對(duì)應(yīng)半徑之比可類比得正四面體中V1與V2之比為對(duì)應(yīng)體積之比 正四面體中求得外接球與內(nèi)切球半徑即可 2 把橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)類比結(jié)合解三角形推導(dǎo)結(jié)論 答案 1 D 2 e sinA sinB sinC 拓展提高 1 類比推理是由特殊到特殊的推理 其一般步驟為 找出兩類事物之間的相似性或一致性 用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì) 得出一個(gè)明確的命題 猜想 2 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象 平面幾何中的一些定理 公式 結(jié)論等 可以類比到立體幾何中 得到類似的結(jié)論 演繹推理 拓展提高 1 演繹推理的結(jié)構(gòu)演繹推理是由一般到特殊的推理 其最常見(jiàn)的形式是三段論 它是由大前提 小前提 結(jié)論三部分組成的 三段論推理中包含三個(gè)判斷 第一個(gè)判斷稱為大前提 它提供了一個(gè)一般的原理 第二個(gè)判斷叫小前提 它指出了一個(gè)特殊情況 這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái) 提供了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷 結(jié)論 2 演繹推理的理論依據(jù)其推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講就是 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的子集 那么S中所有元素都具有性質(zhì)P 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 理 歸納不準(zhǔn)確致誤 注 對(duì)應(yīng)文數(shù)熱點(diǎn)突破之五十一 如圖所示 坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1 由下往上的六個(gè)點(diǎn) 1 2 3 4 5 6的橫 縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列 an n N 的前12項(xiàng) 如下表所示 按如此規(guī)律下去 則a2013 a2014 a2015等于 A 1004B 1007C 1011D 2014 解析 a1 1 a2 1 a3 1 a4 2 a5 2 a6 3 a7 2 a8 4 這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1 1 2 2 3 偶數(shù)項(xiàng)為1 2 3 故a2013 a2015 0 a2014 1007 故a2013 a2014 a2015 1007 答案 B 易錯(cuò)分析 本題中的 按如此規(guī)律下去 就是要求由題目給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系 歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系 可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種 一是歸納時(shí)找不準(zhǔn) 前幾項(xiàng) 的規(guī)律 胡亂猜測(cè) 二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系 本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng) 并且逐一遞增 即a2n n n N 各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng) 正負(fù)交替后逐一遞增 并且滿足a4n 3 a4n 1 0 n N 如果弄錯(cuò)這些關(guān)系就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果 如認(rèn)為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an n 就會(huì)得到a2013 a2014 a2015 2014的錯(cuò)誤結(jié)論 而選D 溫馨提醒 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì) 結(jié)論是否真實(shí) 還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn) 因此 它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具 答案 1000 1 一種模式演繹推理的一般模式是三段論 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí) 應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提 如果大前提與推理形式是正確的 結(jié)論必定是正確的 如果大前提錯(cuò)誤 盡管推理形式是正確的 所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的 2 三個(gè)防范 1 在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比 不要被表面現(xiàn)象迷惑 否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比 那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤 2 合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論 發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明 3 演繹推理是由一般到特殊的推理 它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題 注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性 書寫格式的規(guī)范性