第3節(jié)二項式定理 基礎(chǔ)梳理 二項式定理 二項展 開式 二項式系數(shù) 2 二項式系數(shù)的性質(zhì) 質(zhì)疑探究 二項式系數(shù)與項的系數(shù)相同嗎 1 x 2 6的展開式中 x3的系數(shù)為 A 40B 20C 80D 160答案 D 2 在 1 2x n的展開式中 各項的二項式系數(shù)的和為64 則展開式共有 項 A 5B 6C 7D 8解析 各項二項式系數(shù)和為2n 64 故n 6 所以該展開式共有7項 故選C 答案 C 解析 由題知 第6項為中間項 共有11項 故n 10 故選C 答案 C 4 若 x 1 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 則a0 a2 a4的值為 解析 令x 1 a0 a1 a2 a3 a4 0 x 1 a0 a1 a2 a3 a4 16 得a0 a2 a4 8 答案 8 考點突破 求展開式中的特定項或其系數(shù) 思維導(dǎo)引 1 先寫出 1 x 5的展開式通項 分別求出含x2 x的項的系數(shù) 然后根據(jù)多項式乘法法則求解x2的系數(shù) 列出方程求a值 2 先利用二項展開式的通項公式求其通項 然后利用x的冪指數(shù)等于0確定r 代入求值 答案 1 D 2 10 1 注意通項公式表示的是第k 1項而不是第k項 2 常數(shù)項是指通項中字母的指數(shù)為0的項 有理項是指通項中字母的指數(shù)為整數(shù)的項 無理項是通項中字母的指數(shù)為最簡分數(shù) 3 求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)或特定項時 一般要根據(jù)這幾個二項式的結(jié)構(gòu)特征進行分類搭配 分類時一般以一個二項式逐項分類 分析其他二項式應(yīng)滿足的條件 然后再求解結(jié)果 例2 在 2x 3y 10的展開式中 求 1 二項式系數(shù)的和 2 各項系數(shù)的和 3 奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和 4 奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和 5 x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和 思維導(dǎo)引 先寫出二項展開式的各項 根據(jù)所求靈活賦值求解各類系數(shù)之和問題 賦值法的應(yīng)用 解 設(shè) 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各項系數(shù)和即為a0 a1 a10 奇數(shù)項系數(shù)和為a0 a2 a10 偶數(shù)項系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的奇次項系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項系數(shù)和為a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 賦值法 求出相關(guān)的系數(shù)和 1 賦值法 普遍適用于恒等式 是一種重要的方法 對形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展開式的各項系數(shù)之和 常用賦值法 只需令x 1即可 對形如 ax by n a b R 的式子求其展開式各項系數(shù)之和 只需令x y 1即可 即時突破2 2014河北石家莊市二模 設(shè) x 1 5 2x 1 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a6 x 1 6 則a1 a2 a6 解析 設(shè)f x x 1 5 2x 1 則f 0 a0 a1 a2 a6 0 1 5 2 0 1 1 f 1 a0 1 1 5 2 1 1 32 1 32 a1 a2 a6 f 0 f 1 1 32 33 答案 33 思維導(dǎo)引 1 根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可直接判斷二項式系數(shù)最大的項 2 先利用通項公式求出項的系數(shù) 然后利用不等式組確定系數(shù)絕對值最大的項 從而求得結(jié)果 項的系數(shù)的最值問題 即時突破3 1 2x n 其中n N 且n 6 的展開式中x3與x4項的二項式系數(shù)相等 則系數(shù)最大項為 答案 672x5 正解 令x 1 可得各項系數(shù)之和M 4n 二項式系數(shù)之和N 2n 由M N 240 得4n 2n 240 即 2n 2 2n 240 0 解得2n 16或2n 15 舍去 所以n 4 答案 4