第1講集合與常用邏輯用語 專題一集合與常用邏輯用語 不等式 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 1 2015 陜西 設集合M x x2 x N x lgx 0 則M N等于 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 解析由題意得M 0 1 N 0 1 故M N 0 1 故選A 高考真題體驗 A 1 2 3 4 2 2015 天津 設x R 則 1 x 2 是 x 2 1 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件 解析由 x 2 1得1 x 3 所以1 x 2 1 x 3 但1 x 31 x 2 故選A A 1 2 3 4 3 2015 浙江 命題 n N f n N 且f n n 的否定形式是 A n N f n N 且f n nB n N f n N 或f n nC n0 N f n0 N 且f n0 n0D n0 N f n0 N 或f n0 n0 解析由全稱命題與特稱命題之間的互化關系知選D D 1 2 3 4 4 設整數(shù)n 4 集合X 1 2 3 n 令集合S x y z x y z X 且三條件x y z y z x z x y恰有一個成立 若 x y z 和 z w x 都在S中 則下列選項正確的是 A y z w S x y w SB y z w S x y w SC y z w S x y w SD y z w S x y w S 1 2 3 4 解析因為 x y z 和 z w x 都在S中 不妨令x 2 y 3 z 4 w 1 則 y z w 3 4 1 S x y w 2 3 1 S 故 y z w S x y w S的說法均錯誤 可以排除選項A C D 故選B 答案B 1 2 3 4 考情考向分析 1 集合是高考必考知識點 經(jīng)常以不等式解集 函數(shù)的定義域 值域為背景考查集合的運算 近幾年有時也會出現(xiàn)一些集合的新定義問題 2 高考中考查命題的真假判斷或命題的否定 考查充要條件的判斷 熱點一集合的關系及運算1 集合的運算性質及重要結論 1 A A A A A A B B A 2 A A A A A B B A 3 A UA A UA U 4 A B A A B A B A B A 熱點分類突破 2 集合運算中的常用方法 1 若已知的集合是不等式的解集 用數(shù)軸求解 2 若已知的集合是點集 用數(shù)形結合法求解 3 若已知的集合是抽象集合 用Venn圖求解 A A B B A B RC B AD A B B 2 對于非空集合A B 定義運算 A B x x A B 且x A B 已知M x a x b N x c x d 其中a b c d滿足a b c d ab cd 0 則M N等于 A a d b c B c a b d C a c d b D c a d b 解析由已知M x a0 又 a b c d a c d b 又 c0 d b 0 因此 a c 0 a c 0 d b M N N M N x a x c或d x b a c d b 故選C 答案C 思維升華 1 集合的關系及運算問題 要先對集合進行化簡 然后可借助Venn圖或數(shù)軸求解 2 對集合的新定義問題 要緊扣新定義集合的性質探究集合中元素的特征 將問題轉化為熟悉的知識進行求解 也可利用特殊值法進行驗證 跟蹤演練1 1 設集合A x y x y 1 B x y x y 3 則滿足M A B 的集合M的個數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 解析由題中集合可知 集合A表示直線x y 1上的點 可得A B 2 1 M為A B的子集 可知M可能為 2 1 或 所以滿足M A B 的集合M的個數(shù)是2 C 取m的最小值0 n的最大值1 故選C 答案C 熱點二四種命題與充要條件1 四種命題中原命題與逆否命題同真同假 逆命題與否命題同真同假 2 若p q 則p是q的充分條件 q是p的必要條件 若p q 則p q互為充要條件 例2 1 2014 江西 下列敘述中正確的是 A 若a b c R 則 ax2 bx c 0 的充分條件是 b2 4ac 0 B 若a b c R 則 ab2 cb2 的充要條件是 a c C 命題 對任意x R 有x2 0 的否定是 存在x R 有x2 0 D l是一條直線 是兩個不同的平面 若l l 則 解析由于 若b2 4ac 0 則ax2 bx c 0 是假命題 所以 ax2 bx c 0 的充分條件不是 b2 4ac 0 A錯 因為ab2 cb2 且b2 0 所以a c 而a c時 若b2 0 則ab2 cb2不成立 由此知 ab2 cb2 是 a c 的充分不必要條件 B錯 對任意x R 有x2 0 的否定是 存在x R 有x2 0 C錯 由l l 可得 理由 垂直于同一條直線的兩個平面平行 D正確 答案D 2 已知p m 15或m 3D m 5或m 3 解析p m 1 x m 1 q 2 x 6 q是p的必要不充分條件 m 1 m 1 2 6 m的取值范圍為 3 5 故選B B 思維升華 充分條件與必要條件的三種判定方法 1 定義法 正 反方向推理 若p q 則p是q的充分條件 或q是p的必要條件 若p q 且qp 則p是q的充分不必要條件 或q是p的必要不充分條件 2 集合法 利用集合間的包含關系 例如 若A B 則A是B的充分條件 B是A的必要條件 若A B 則A是B的充要條件 3 等價法 將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題 跟蹤演練2 1 下列五個命題 log2x2 2log2x A B A的充要條件是B A 若y ksinx 1 x R 則y的最小值為 k 1 其中正確命題的序號為 寫出所有正確命題的序號 解析 log2x2 2log2x 左邊x R 右邊x 0 錯誤 A B A的充要條件是B A 正確 若y ksinx 1 x R 因為k的符號不定 所以y的最小值為 k 1 答案 A 2 B 1 C 2 D 1 所以x2 A 熱點三邏輯聯(lián)結詞 量詞1 命題p q 只要p q有一真 即為真 命題p q 只有p q均為真 才為真 綈p和p為真假對立的命題 2 命題p q的否定是 綈p 綈q 命題p q的否定是 綈p 綈q 3 x M p x 的否定為 x0 M 綈p x0 x0 M p x0 的否定為 x M 綈p x 例3 1 已知命題p 在 ABC中 C B 是 sinC sinB 的充分不必要條件 命題q a b 是 ac2 bc2 的充分不必要條件 則下列選項中正確的是 A p真q假B p假q真C p q 為假D p q 為真 解析 ABC中 C B c b 2RsinC 2RsinB R為 ABC外接圓半徑 所以C B sinC sinB 故 C B 是 sinC sinB 的充要條件 命題p是假命題 若c 0 當a b時 則ac2 0 bc2 故a bac2 bc2 若ac2 bc2 則必有c 0 則c2 0 則有a b 所以ac2 bc2 a b 故 a b 是 ac2 bc2 的必要不充分條件 故命題q也是假命題 故選C 答案C 2 已知命題p x 1 2 x2 a 0 命題q x0 R 2ax0 2 a 0 若命題 綈p q 是真命題 則實數(shù)a的取值范圍是 A a 2或a 1B a 2或1 a 2C a 1D 2 a 1 解析命題p為真時a 1 x0 R 2ax0 2 a 0 為真 即方程x2 2ax 2 a 0有實根 故 4a2 4 2 a 0 解得a 1或a 2 綈p q為真命題 即綈p真且q真 即a 1 C 思維升華 1 命題的否定和否命題是兩個不同的概念 命題的否定只否定命題的結論 真假與原命題相對立 2 判斷命題的真假要先明確命題的構成 由命題的真假求某個參數(shù)的取值范圍 還可以考慮從集合的角度來思考 將問題轉化為集合間的運算 跟蹤演練3 1 已知直線l1 ax 3y 1 0與l2 2x a 1 y 1 0 給出命題p l1 l2的充要條件是a 3或a 2 命題q l1 l2的充要條件是a 對于以上兩個命題 下列結論中正確的是 A p q 為真B p q 為假C p 綈q 為假D p 綈q 為真 解析對于命題p 因為當a 2時 l1與l2重合 故命題p為假命題 故命題p q為假命題 p q為真命題 p 綈q 為假命題 p 綈q 為假命題 答案C 2 已知命題p x0 R mx0 0 q x R x2 mx 1 0 若p 綈q 為假命題 則實數(shù)m的取值范圍是 A 0 2 B 0 2 C RD 解析若p 綈q 為假命題 則p假q真 命題p為假命題時 有0 m e 命題q為真命題時 有 m2 4 0 即 2 m 2 若要使p 綈q 為假命題 則m的取值范圍是0 m 2 B 1 已知集合E 1 2 3 4 5 集合F x x 4 x 0 則E RF 等于 A 1 2 3 B 4 5 C 1 2 3 4 D 1 4 高考押題精練 1 2 3 4 押題依據(jù)集合的運算在歷年高考中的地位都很重要 已成為送分必考試題 集合的運算常與不等式 特別是一元一次不等式 一元二次不等式 的求解 函數(shù)的定義域 函數(shù)的值域等知識相交匯 解析因為集合F x x 4 x 4 所以 RF x 0 x 4 所以E RF 1 2 3 4 故選C 答案C 1 2 3 4 2 已知集合A x y y f x 若對于任意 x1 y1 M 存在 x2 y2 M 使得x1x2 y1y2 0成立 則稱集合M是 集合 給出下列4個集合 M x y y cosx M x y y lnx 其中所有 集合 的序號是 A B C D 1 2 3 4 M x y y ex 2 押題依據(jù)以新定義為背景 考查元素與集合的關系 是近幾年高考的熱點 解題時可從集合的性質 元素的性質 運算性質 作為突破口 對于 取 1 0 M 且存在 x2 y2 M 則x1x2 y1y2 1 x2 0 y2 x2 0 可知 錯誤 同理 可證得 和 都是正確的 故選A 答案A 1 2 3 4 3 設 R 則 0 是 f x cos x x R 為偶函數(shù) 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 押題依據(jù)充要條件的判定一直是高考考查的重點 該類問題必須以其他知識為載體 結合考查數(shù)學概念 1 2 3 4 解析當 0時 f x cos x cosx為偶函數(shù)成立 但當f x cos x 為偶函數(shù)時 k k Z 0不一定成立 故選A 答案A 1 2 3 4 4 下列命題是假命題的是 填序號 命題 若x 1 則x2 3x 2 0 的逆否命題是 若x2 3x 2 0 則x 1 對于命題p x R 使得x2 x 1 0 則綈p x R 均有x2 x 1 0 若p q為假命題 則p q均為假命題 1 2 3 4 押題依據(jù)常用邏輯用語中命題真假的判斷 充要條件 量詞及邏輯聯(lián)結詞是數(shù)學學習的重要工具 也是高考考查的熱點 解析 根據(jù)命題的四種形式 可知命題 若p 則q 的逆否命題是 若綈q 則綈p 故該命題正確 1 2 3 4 特稱命題的否定是全稱命題 故命題正確 p q為假命題時 只要p q中至少有一個為假命題即可 不一定p q均為假命題 答案 1 2 3 4