第2講函數(shù)的應用 專題二函數(shù)與導數(shù) 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 3 4 A 0 1 B 1 2 C 2 4 D 4 解析由題意知 函數(shù)f x 在 0 上為減函數(shù) 又f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 由零點存在性定理 可知函數(shù)f x 在區(qū)間 2 4 上必存在零點 C 1 2 3 4 解析作出函數(shù)y f x 在 3 4 上的圖象 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2015 四川 某食品的保鮮時間y 單位 小時 與儲藏溫度x 單位 滿足函數(shù)關系y ekx b e 2 718 為自然對數(shù)的底數(shù) k b為常數(shù) 若該食品在0 的保鮮時間是192小時 在22 的保鮮時間是48小時 則該食品在33 的保鮮時間是 小時 1 2 3 4 x 33時 y e33k b e11k 3 eb 答案24 1 2 3 4 4 2014 湖北 某項研究表明 在考慮行車安全的情況下 某路段車流量F 單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù) 單位 輛 時 與車流速度v 假設車輛以相同速度v行駛 單位 米 秒 平均車長l 單位 米 的值有關 其公式為F 1 2 3 4 1 如果不限定車型 l 6 05 則最大車流量為 輛 時 當且僅當v 11米 秒時等號成立 此時車流量最大為1900輛 時 1900 1 2 3 4 2 如果限定車型 l 5 則最大車流量比 1 中的最大車流量增加 輛 時 當且僅當v 10米 秒時等號成立 此時車流量最大為2000輛 時 比 1 中的最大車流量增加100輛 時 100 考情考向分析 1 函數(shù)零點所在區(qū)間 零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型 主要以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 2 函數(shù)的實際應用以二次函數(shù) 分段函數(shù)模型為載體 主要考查函數(shù)的最值問題 熱點一函數(shù)的零點 熱點分類突破 1 零點存在性定理如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 且有f a f b 0 那么 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 即存在c a b 使得f c 0 這個c也就是方程f x 0的根 2 函數(shù)的零點與方程根的關系函數(shù)F x f x g x 的零點就是方程f x g x 的根 即函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y g x 的圖象交點的橫坐標 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 10 f 2 f 3 0 故f x 的零點在區(qū)間 2 3 內(nèi) C 2 已知函數(shù)f x ex x g x lnx x h x lnx 1的零點依次為a b c 則 A a b cB c b aC c a bD b a c 解析由f a ea a 0 得a ea 0 b是函數(shù)y lnx和y x圖象交點的橫坐標 畫圖可知0 b 1 由h x lnc 1 0知c e 所以a b c A 思維升華 函數(shù)零點 即方程的根 的確定問題 常見的有 1 函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定 2 零點個數(shù)的確定 3 兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定 解決這類問題的常用方法有解方程法 利用零點存在的判定或數(shù)形結合法 尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結合求解 跟蹤演練1 1 函數(shù)f x x2 2x在x R上的零點的個數(shù)是 A 0B 1C 2D 3 因此函數(shù)f x 在 1 0 上必有零點 又f 2 f 4 0 因此函數(shù)f x 的零點個數(shù)是3 選D D A 5B 6C 7D 8 函數(shù)f x 的周期為2 則函數(shù)f x g x 在區(qū)間 5 1 上的圖象如圖所示 由圖形可知函數(shù)f x g x 在區(qū)間 5 1 上的交點為A B C 易知點B的橫坐標為 3 若設C的橫坐標為t 0 t 1 則點A的橫坐標為 4 t 所以方程f x g x 在區(qū)間 5 1 上的所有實根之和為 3 4 t t 7 答案C 熱點二函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍 解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題 關鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結合思想 構建關于參數(shù)的方程或不等式求解 A 2 1 B 0 1 C 2 0 D 2 1 解析解不等式x2 1 4 x 1 得x 2或x 3 函數(shù)y f x k的圖象與x軸恰有三個不同交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)y f x 的圖象和直線y k恰有三個不同交點 答案D 如圖 所以 1 k 2 故 2 k 1 2 已知函數(shù)f x ex 2x a有零點 則a的取值范圍是 解析f x ex 2 當x ln2 時 f x 0 所以f x min f ln2 2 2ln2 a 所以a 2ln2 2 2ln2 2 思維升華 1 f x g x 根的個數(shù)即為函數(shù)y f x 和y g x 圖象交點的個數(shù) 2 關于x的方程f x m 0有解 m的范圍就是函數(shù)y f x 的值域 跟蹤演練2 1 若函數(shù)f x m log2x x 1 存在零點 則實數(shù)m的取值范圍是 A 0 B 0 C 0 D 0 解析m log2x x 1 存在零點 則m的范圍即為函數(shù)y log2x x 1 的值域 m 0 A 2 2015 湖南 若函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 則實數(shù)b的取值范圍是 解析將函數(shù)f x 2x 2 b的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y 2x 2 的圖象與直線y b的交點個數(shù)問題 數(shù)形結合求解 由f x 2x 2 b 0 得 2x 2 b 在同一平面直角坐標系中畫出y 2x 2 與y b的圖象 如圖所示 則當0 b 2時 兩函數(shù)圖象有兩個交點 從而函數(shù)f x 2x 2 b有兩個零點 答案 0 2 熱點三函數(shù)的實際應用問題 解決函數(shù)模型的實際應用題 首先考慮題目考查的函數(shù)模型 并要注意定義域 其解題步驟是 1 閱讀理解 審清題意 分析出已知什么 求什么 從中提煉出相應的數(shù)學問題 2 數(shù)學建模 弄清題目中的已知條件和數(shù)量關系 建立函數(shù)關系式 3 解函數(shù)模型 利用數(shù)學方法得出函數(shù)模型的數(shù)學結果 4 實際問題作答 將數(shù)學問題的結果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答 1 寫出年利潤W 萬元 關于年產(chǎn)量x 千件 的函數(shù)解析式 解當0 x 10時 當x 10時 2 年產(chǎn)量為多少千件時 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大 注 年利潤 年銷售收入 年總成本 得x 9 且當x 0 9 時 W 0 當x 9 10 時 W 0 當x 9時 W取得最大值 當x 10時 綜合 知 當x 9時 W取最大值38 6萬元 故當年產(chǎn)量為9千件時 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大 思維升華 1 關于解決函數(shù)的實際應用問題 首先要耐心 細心地審清題意 弄清各量之間的關系 再建立函數(shù)關系式 然后借助函數(shù)的知識求解 解答后再回到實際問題中去 2 對函數(shù)模型求最值的常用方法 單調(diào)性法 基本不等式法及導數(shù)法 跟蹤演練3 1 國家規(guī)定某行業(yè)征稅如下 年收入在280萬元及以下的稅率為p 超過280萬元的部分按 p 2 征稅 有一公司的實際繳稅比例為 p 0 25 則該公司的年收入是 A 560萬元B 420萬元C 350萬元D 320萬元 解析設該公司的年收入為x萬元 x 280 故該公司的年收入為320萬元 答案D 2 某租賃公司擁有汽車100輛 當每輛車的月租金為3000元時 可全部租出 當每輛車的月租金每增加50元時 未出租的車將會增加一輛 租出的車每輛每月需要維護費150元 未租出的車每輛每月需要維護費50元 要使租賃公司的月收益最大 則每輛車的月租金應定為 元 解析設每輛車的月租金為x x 3000 元 當x 4050時 y取最大值為307050 即當每輛車的月租金定為4050元時 租賃公司的月收益最大為307050元 答案4050 高考押題精練 1 2 3 4 1 f x 2sin x x 1的零點個數(shù)為 A 4B 5C 6D 7 押題依據(jù)函數(shù)的零點是高考的熱點 利用函數(shù)圖象求零點個數(shù)是一種常用方法 1 2 3 4 解析令2sin x x 1 0 則2sin x x 1 令h x 2sin x g x x 1 則f x 2sin x x 1的零點個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h x 與g x 圖象的交點個數(shù)問題 1 2 3 4 所以兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個 所以f x 2sin x x 1的零點個數(shù)為5 答案B 1 2 3 4 押題依據(jù)利用函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍 很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想 同時分段函數(shù)也是高考的重要考點 1 2 3 4 由于函數(shù)g x f x m有3個零點 結合圖象得 0 m 1 即m 0 1 答案 0 1 1 2 3 4 3 已知函數(shù)f x 5x x 2 g x log5x x 2的零點分別為x1 x2 則x1 x2的值為 押題依據(jù)函數(shù)的零點是高考必考查的知識點 已知兩函數(shù)的解析式 求兩函數(shù)零點的和或取值范圍等 此類命題角度新穎 將成為高考命題的熱點 應給予關注 1 2 3 4 解析令f x 0 g x 0 得5x x 2 log5x x 2 作出函數(shù)y 5x y log5x y x 2的圖象 如圖所示 因為函數(shù)f x 5x x 2 g x log5x x 2的零點分別為x1 x2 所以x1是函數(shù)y 5x的圖象與直線y x 2交點A的橫坐標 x2是函數(shù)y log5x的圖象與直線y x 2交點B的橫坐標 1 2 3 4 因為y 5x與y log5x的圖象關于y x對稱 直線y x 2也關于y x對稱 且直線y x 2與它們都只有一個交點 故這兩個交點關于y x對稱 又線段AB的中點是y x與y x 2的交點 即 1 1 所以x1 x2 2 答案2 1 2 3 4 4 在如圖所示的銳角三角形空地中 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園 陰影部分 則其邊長x為 m 押題依據(jù)函數(shù)的實際應用是高考的必考點 函數(shù)的最值問題是應用問題考查的熱點 1 2 3 4 解析如圖 過A作AH BC交于點H 交DE于點F 當且僅當40 x x 即x 20時取等號 所以滿足題意的邊長x為20m 答案20