第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 專(zhuān)題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 高考真題體驗(yàn) 熱點(diǎn)分類(lèi)突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗(yàn) 1 2 3 4 1 2015 湖南 設(shè)函數(shù)f x ln 1 x ln 1 x 則f x 是 A 奇函數(shù) 且在 0 1 上是增函數(shù)B 奇函數(shù) 且在 0 1 上是減函數(shù)C 偶函數(shù) 且在 0 1 上是增函數(shù)D 偶函數(shù) 且在 0 1 上是減函數(shù) 1 2 3 4 解析易知函數(shù)定義域?yàn)?1 1 又f x ln 1 x ln 1 x f x 故函數(shù)f x 為奇函數(shù) 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法知 f x 在 0 1 上是增函數(shù) 故選A 答案A 1 2 3 4 2 2014 課標(biāo)全國(guó) 已知函數(shù)f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零點(diǎn)x0 且x0 0 則a的取值范圍是 A 2 B 2 C 1 D 1 解析f x 3ax2 6x 當(dāng)a 3時(shí) f x 9x2 6x 3x 3x 2 則當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 1 2 3 4 則f x 的大致圖象如圖1所示 不符合題意 排除A C 圖1 1 2 3 4 圖2 答案B 1 2 3 4 3 2014 遼寧 當(dāng)x 2 1 時(shí) 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析當(dāng)x 0時(shí) ax3 x2 4x 3 0變?yōu)? 0恒成立 即a R 1 2 3 4 1 2 3 4 x 在 0 1 上遞增 x max 1 6 a 6 1 2 3 4 當(dāng)x 2 1 時(shí) x 0 當(dāng)x 1時(shí) x 有極小值 即為最小值 綜上知 6 a 2 答案C 1 2 3 4 4 2013 安徽 已知函數(shù)f x x3 ax2 bx c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 x2 若f x1 x1 x2 則關(guān)于x的方程3 f x 2 2af x b 0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為 A 3B 4C 5D 6 解析f x 3x2 2ax b 由已知x1 x2是方程3x2 2ax b 0的不同兩根 當(dāng)f x1 x1 x2時(shí) 作y x1 y x2與f x x3 ax2 bx c有三個(gè)不同交點(diǎn) 即方程3 f x 2 2af x b 0有三個(gè)不同實(shí)根 A 考情考向分析 1 導(dǎo)數(shù)的意義和運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ) 是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 2 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值 最值 是高考的常見(jiàn)題型 熱點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義 熱點(diǎn)分類(lèi)突破 1 函數(shù)f x 在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f x 在點(diǎn)P x0 f x0 處的切線的斜率 曲線f x 在點(diǎn)P處的切線的斜率k f x0 相應(yīng)的切線方程為y f x0 f x0 x x0 2 求曲線的切線要注意 過(guò)點(diǎn)P的切線 與 在點(diǎn)P處的切線 的不同 例1 1 2015 課標(biāo)全國(guó) 已知函數(shù)f x ax3 x 1的圖象在點(diǎn) 1 f 1 處的切線過(guò)點(diǎn) 2 7 則a 解析f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 1 f 1 處的切線方程為y a 2 1 3a x 1 將 2 7 代入切線方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 設(shè)函數(shù)f x ax3 3x 其圖象在點(diǎn) 1 f 1 處的切線l與直線x 6y 7 0垂直 則直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 A 1B 3C 9D 12 解析f x 3ax2 3 由題設(shè)得f 1 6 所以3a 3 6 a 3 所以f x 3x3 3x f 1 0 切線l的方程為y 0 6 x 1 即y 6x 6 選B B 思維升華 1 求曲線的切線要注意 過(guò)點(diǎn)P的切線 與 在點(diǎn)P處的切線 的差異 過(guò)點(diǎn)P的切線中 點(diǎn)P不一定是切點(diǎn) 點(diǎn)P也不一定在已知曲線上 而在點(diǎn)P處的切線 必以點(diǎn)P為切點(diǎn) 2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題 主要是利用導(dǎo)數(shù) 切點(diǎn)坐標(biāo) 切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化 以平行 垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值 則要求掌握平行 垂直與斜率之間的關(guān)系 進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解 又C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直 答案4 熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 1 f x 0是f x 為增函數(shù)的充分不必要條件 如函數(shù)f x x3在 上單調(diào)遞增 但f x 0 2 f x 0是f x 為增函數(shù)的必要不充分條件 當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f x 0時(shí) 則f x 為常函數(shù) 函數(shù)不具有單調(diào)性 1 若f x 在x 0處取得極值 確定a的值 并求此時(shí)曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線方程 因?yàn)閒 x 在x 0處取得極值 所以f 0 0 即a 0 2 若f x 在 3 上為減函數(shù) 求a的取值范圍 令g x 3x2 6 a x a 當(dāng)x x1時(shí) g x 0 即f x 0 故f x 為減函數(shù) 當(dāng)x1 x x2時(shí) g x 0 即f x 0 故f x 為增函數(shù) 當(dāng)x x2時(shí) g x 0 即f x 0 故f x 為減函數(shù) 思維升華 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟 1 確定函數(shù)的定義域 2 求導(dǎo)函數(shù)f x 3 若求單調(diào)區(qū)間 或證明單調(diào)性 只要在函數(shù)定義域內(nèi)解 或證明 不等式f x 0或f x 0 若已知函數(shù)的單調(diào)性 則轉(zhuǎn)化為不等式f x 0或f x 0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題來(lái)求解 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析由題意知 函數(shù)的定義域?yàn)?0 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為 0 1 B 熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 最值 1 若在x0附近左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 2 設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得 1 若f x 在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù) 求實(shí)數(shù)p的取值范圍 解f x 的定義域?yàn)?0 由條件知f x 0在 0 內(nèi)恒成立 所以p 1 即實(shí)數(shù)p的取值范圍是 1 2 若在 1 e 上存在點(diǎn)x0 使得f x0 g x0 成立 求實(shí)數(shù)p的取值范圍 解設(shè)h x f x g x 則已知等價(jià)于h x 0在 1 e 上有解 即等價(jià)于h x 在 1 e 上的最大值大于0 所以h x 在 1 e 上是增函數(shù) 3 若在 1 e 上存在點(diǎn)x1 x2 使得f x1 g x2 成立 求實(shí)數(shù)p的取值范圍 解已知條件等價(jià)于f x max g x min 當(dāng)p 1時(shí) 由 1 知f x 在 1 e 上是增函數(shù) 若f x max f 1 0 由于g x min 2 所以此時(shí)無(wú)解 思維升華 1 求函數(shù)f x 的極值 則先求方程f x 0的根 再檢查f x 在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào) 2 若已知極值大小或存在情況 則轉(zhuǎn)化為已知方程f x 0根的大小或存在情況來(lái)求解 3 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 的最值時(shí) 在得到極值的基礎(chǔ)上 結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f a f b 與f x 的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 跟蹤演練3已知函數(shù)f x lnx ax a2x2 a 0 1 若x 1是函數(shù)y f x 的極值點(diǎn) 求a的值 解函數(shù)的定義域?yàn)?0 因?yàn)閤 1是函數(shù)y f x 的極值點(diǎn) 所以f 1 1 a 2a2 0 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng)a 1時(shí) x 1是函數(shù)y f x 的極值點(diǎn) 所以a 1 2 若f x 0在定義域內(nèi)恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解當(dāng)a 0時(shí) f x lnx 顯然在定義域內(nèi)不滿足f x 0 所以f x f x 的變化情況如下表 綜上可得a的取值范圍是 1 高考押題精練 1 2 3 4 1 已知曲線y lnx的切線過(guò)原點(diǎn) 則此切線的斜率為 押題依據(jù)曲線的切線問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 是高考考查的熱點(diǎn) 對(duì)于 過(guò)某一點(diǎn)的切線 問(wèn)題 也是易錯(cuò)易混點(diǎn) 1 2 3 4 解析y f x lnx的定義域?yàn)?0 又切線過(guò)點(diǎn) 0 0 代入切線方程得y0 1 則x0 e 答案C 1 2 3 4 1 2 3 4 押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的 橋梁 理解極值概念是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵 極值點(diǎn) 極值的求法是高考的熱點(diǎn) 解析由題意知f x 3x2 2ax b f 1 0 f 1 10 答案A 1 2 3 4 3 已知函數(shù)f x x2 ax 3在 0 1 上為減函數(shù) 函數(shù)g x x2 alnx在 1 2 上為增函數(shù) 則a的值等于 押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)最重要的應(yīng)用 體現(xiàn)了 以直代曲 思想 要在審題中搞清 在 0 1 上為減函數(shù) 與 函數(shù)的減區(qū)間為 0 1 的區(qū)別 1 2 3 4 解析 函數(shù)f x x2 ax 3在 0 1 上為減函數(shù) 得2x2 a在x 1 2 上恒成立 有a 2 a 2 答案2 1 2 3 4 押題依據(jù)不等式恒成立或有解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決 考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想 是高考的一個(gè)熱點(diǎn) 1 2 3 4 因此函數(shù)f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 所以x 0 1 時(shí) f x min f 0 1 根據(jù)題意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 1 2 3 4 則要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min