專題八數(shù)學思想方法 專題八數(shù)學思想方法 一 函數(shù)與方程思想 二 數(shù)形結(jié)合思想 三 分類與整合思想 內(nèi)容索引 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 一 函數(shù)與方程思想 高考數(shù)學以能力立意 一是考查數(shù)學的基礎知識 基本技能 二是考查基本數(shù)學思想方法 考查數(shù)學思維的深度 廣度和寬度 數(shù)學思想方法是指從數(shù)學的角度來認識 處理和解決問題 是數(shù)學意識 是數(shù)學技能的升華和提高 中學數(shù)學思想主要有函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 分類與整合思想 化歸和轉(zhuǎn)化思想 一 函數(shù)與方程思想函數(shù)思想 就是用函數(shù)與變量去思考問題分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系 建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù) 運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題 轉(zhuǎn)化問題 從而使問題獲得解決的數(shù)學思想 方程的思想 就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關(guān)系 建立方程或方程組 或者構(gòu)造方程 通過解方程或方程組 或者運用方程的性質(zhì)去分析 轉(zhuǎn)化問題 使問題獲得解決的數(shù)學思想 例1 1 2014 湖南 若0 x1 x2 1 則 解析設f x ex lnx 0 x 1 令f x 0 得xex 1 0 因此函數(shù)f x 在 0 1 上不是單調(diào)函數(shù) 故A B選項不正確 又0g x2 答案C 2 若將函數(shù)f x sin2x cos2x的圖象向右平移 個單位 所得圖象關(guān)于y軸對稱 則 的最小正值是 思維升華 函數(shù)與方程思想在解題中的應用 1 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化 對函數(shù)y f x 當y 0時 就化為不等式f x 0 借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題 而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式 2 數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) 用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要 思維升華 3 解析幾何中的許多問題 需要通過解二元方程組才能解決 這都涉及二次方程與二次函數(shù)有關(guān)理論 4 立體幾何中有關(guān)線段 角 面積 體積的計算 經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 跟蹤演練1 1 若函數(shù)f x 在R上可導 且滿足f x f 2 C 2f 1 f 2 D f 1 f 2 A 2 如圖是函數(shù)y Asin x 其中A 0 0 在一個周期內(nèi)的圖象 則此函數(shù)的解析式是 解析依函數(shù)圖象 知y的最大值為2 所以A 2 答案B 二 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想包含 以形助數(shù) 和 以數(shù)輔形 兩個方面 其應用大致可以分為兩種情形 一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數(shù)作為目的 比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì) 二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性 即以數(shù)作為手段 形作為目的 如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 例2 1 2014 山東 已知函數(shù)f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有兩個不相等的實根 則實數(shù)k的取值范圍是 解析先作出函數(shù)f x x 2 1的圖象 如圖所示 當直線g x kx與直線AB平行時斜率為1 答案B 解析可行域如圖所示 由圖知 過點A的直線OA的斜率最小 答案2 思維升華 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用 1 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍或解不等式 2 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根或函數(shù)的零點的范圍 3 構(gòu)建解析幾何模型求最值或范圍 4 構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系 跟蹤演練2 1 已知奇函數(shù)f x 的定義域是 x x 0 x R 且在 0 上單調(diào)遞增 若f 1 0 則滿足x f x 0的x的取值范圍是 解析作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可 由圖可知x f x 0的x的取值范圍是 1 0 0 1 1 0 0 1 2 已知P是直線l 3x 4y 8 0上的動點 PA PB是圓x2 y2 2x 2y 1 0的兩條切線 A B是切點 C是圓心 則四邊形PACB面積的最小值為 解析如圖 三 分類與整合思想 分類與整合思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解 或分割 成若干個基礎性問題 通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略 對問題實行分類與整合 分類標準等于增加一個已知條件 實現(xiàn)了有效增設 將大問題 或綜合性問題 分解為小問題 或基礎性問題 優(yōu)化解題思路 降低問題難度 分類研究后還要對討論結(jié)果進行整合 解析由f f a 2f a 得 f a 1 當a 1時 有2a 1 a 0 a 1 答案C 解析若 PF2F1 90 則 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 若 F2PF1 90 則 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 PF1 2 6 PF1 2 思維升華 分類與整合思想在解題中的應用 1 由數(shù)學概念引起的分類 有的概念本身是分類的 如絕對值 直線斜率 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)等 2 由性質(zhì) 定理 公式的限制引起的分類討論 有的定理 公式 性質(zhì)是分類給出的 在不同的條件下結(jié)論不一致 如等比數(shù)列的前n項和公式 函數(shù)的單調(diào)性等 思維升華 3 由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起的分類 如除法運算中除數(shù)不為零 偶次方根為非負 對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制 指數(shù)運算中底數(shù)的要求 不等式兩邊同乘以一個正數(shù) 負數(shù) 三角函數(shù)的定義域等 4 由圖形的不確定性引起的分類討論 有的圖形類型 位置需要分類 如角的終邊所在的象限 點 線 面的位置關(guān)系等 此時 ABC為鈍角三角形 符合題意 所以AC 1 此時AB2 AC2 BC2 答案B 2 2014 廣東 設集合A x1 x2 x3 x4 x5 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合A中滿足條件 1 x1 x2 x3 x4 x5 3 的元素個數(shù)為 A 60B 90C 120D 130 解析在x1 x2 x3 x4 x5這五個數(shù)中 因為xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 答案D 轉(zhuǎn)化與化歸思想 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化 進而得到解決的一種方法 一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題 將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題 將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 解析1 2是方程ax2 bx 2 0的兩實根 答案D 解析依題意 問題等價于f x1 min g x2 max 由f x 0 解得1 x 3 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 1 3 同理得f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 和 3 故在區(qū)間 0 2 上 x 1是函數(shù)f x 的極小值點 這個極小值點是唯一的 當b2時 g x2 max g 2 4b 8 故問題等價于 解第一個不等式組得b 1 第三個不等式組無解 答案A 思維升華 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用 1 在三角函數(shù)中 涉及到三角式的變形 一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題 以起到化暗為明的作用 主要的方法有公式的 三用 順用 逆用 變形用 角度的轉(zhuǎn)化 函數(shù)的轉(zhuǎn)化等 2 換元法 是將一個復雜的或陌生的函數(shù) 方程 不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù) 方程 不等式的一種重要的方法 思維升華 3 在解決平面向量與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何等知識的交匯題目時 常將平面向量語言與三角函數(shù) 平面幾何 解析幾何語言進行轉(zhuǎn)化 4 在解決數(shù)列問題時 常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解 思維升華 5 在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時 常將函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 切線問題 轉(zhuǎn)化為其導函數(shù)f x 構(gòu)成的方程 不等式問題求解 6 在解決解析幾何 立體幾何問題時 常常在數(shù)與形之間進行轉(zhuǎn)化 解析 f x f x sinx f x 2 f x sinx f x 2 f x sinx sinx f x f x 是以2 為周期的周期函數(shù) 答案A 解析由于直接求解較困難 可探求一般規(guī)律