第2講空間中的平行與垂直 專題五立體幾何與空間向量 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 3 1 2015 北京 設(shè) 是兩個不同的平面 m是直線且m 則 m 是 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 解析m m 但m m m 是 的必要而不充分條件 B 1 2 3 2 2015 安徽 已知m n是兩條不同直線 是兩個不同平面 則下列命題正確的是 A 若 垂直于同一平面 則 與 平行B 若m n平行于同一平面 則m與n平行C 若 不平行 則在 內(nèi)不存在與 平行的直線D 若m n不平行 則m與n不可能垂直于同一平面 1 2 3 解析對于A 垂直于同一平面 關(guān)系不確定 A錯 對于B m n平行于同一平面 m n關(guān)系不確定 可平行 相交 異面 故B錯 對于C 不平行 但 內(nèi)能找出平行于 的直線 如 中平行于 交線的直線平行于 故C錯 對于D 若假設(shè)m n垂直于同一平面 則m n 其逆否命題即為D選項 故D正確 答案D 1 2 3 3 2015 江蘇 如圖 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知AC BC BC CC1 設(shè)AB1的中點為D B1C BC1 E 求證 1 DE 平面AA1C1C 證明由題意知 E為B1C的中點 又D為AB1的中點 因此DE AC 又因為DE 平面AA1C1C AC 平面AA1C1C 所以DE 平面AA1C1C 1 2 3 2 BC1 AB1 證明因為棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 因為AC 平面ABC 所以AC CC1 又因為AC BC CC1 平面BCC1B1 BC 平面BCC1B1 BC CC1 C 1 2 3 所以AC 平面BCC1B1 又因為BC1 平面BCC1B1 所以BC1 AC 因為BC CC1 所以矩形BCC1B1是正方形 因此BC1 B1C 因為AC B1C 平面B1AC AC B1C C 所以BC1 平面B1AC 又因為AB1 平面B1AC 所以BC1 AB1 考情考向分析 1 以選擇題 填空題的形式考查 主要利用平面的基本性質(zhì)及線線 線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進(jìn)行判斷 屬基礎(chǔ)題 2 以解答題的形式考查 主要是對線線 線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題 且多以棱柱 棱錐 棱臺或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查 難度中等 熱點一空間線面位置關(guān)系的判定 熱點分類突破 空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法 1 根據(jù)空間線面平行 垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題 2 必要時可以借助空間幾何模型 如從長方體 四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系 并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷 例1 1 2015 廣東 若直線l1和l2是異面直線 l1在平面 內(nèi) l2在平面 內(nèi) l是平面 與平面 的交線 則下列命題正確的是 A l與l1 l2都不相交B l與l1 l2都相交C l至多與l1 l2中的一條相交D l至少與l1 l2中的一條相交 解析若l與l1 l2都不相交則l l1 l l2 l1 l2 這與l1和l2異面矛盾 l至少與l1 l2中的一條相交 答案D 2 平面 平面 的一個充分條件是 A 存在一條直線a a a B 存在一條直線a a a C 存在兩條平行直線a b a b a b D 存在兩條異面直線a b a b a b 解析若 l a l a a 則a a 故排除A 若 l a a l 則a 故排除B 若 l a a l b b l 則a b 故排除C 故選D D 思維升華 解決空間點 線 面位置關(guān)系的組合判斷題 主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì) 空間位置關(guān)系的各種情況 以及空間線面垂直 平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷 必要時可以利用正方體 長方體 棱錐等幾何模型輔助判斷 同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中 跟蹤演練1已知m n為兩條不同的直線 為兩個不重合的平面 給出下列命題 若m n 則m n 若m m n 則n 若 m 則m 若m m 則 A 0B 1C 2D 3 解析對于 垂直于同一個平面的兩條直線平行 正確 對于 直線n可能在平面 內(nèi) 所以推不出n 錯誤 對于 舉一反例 m 且m與 的交線平行時 也有m 錯誤 對于 可以證明其正確性 正確 故選C 答案C 熱點二空間平行 垂直關(guān)系的證明 空間平行 垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化 即通過判定 性質(zhì)定理將線線 線面 面面之間的平行 垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化 例2 2015 廣東 如圖 三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 證明 BC 平面PDA 證明因為四邊形ABCD是長方形 所以BC AD 因為BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 2 證明 BC PD 證明因為四邊形ABCD是長方形 所以BC CD 因為平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因為PD 平面PDC 所以BC PD 3 求點C到平面PDA的距離 解如圖 取CD的中點E 連接AE和PE 因為PD PC 所以PE CD 因為平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知 BC 平面PDC 由 1 知 BC AD 所以AD 平面PDC 因為PD 平面PDC 所以AD PD 設(shè)點C到平面PDA的距離為h 因為V三棱錐C PDA V三棱錐P ACD 思維升華 垂直 平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行 常用方法如下 1 證明線線平行常用的方法 一是利用平行公理 即證兩直線同時和第三條直線平行 二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換 三是利用三角形的中位線定理證線線平行 四是利用線面平行 面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換 思維升華 2 證明線線垂直常用的方法 利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì) 勾股定理 線面垂直的性質(zhì) 即要證兩線垂直 只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可 l a l a 跟蹤演練2如圖所示 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD為等邊三角形 AD DE 2AB F為CD的中點 求證 1 AF 平面BCE 證明如圖 取CE的中點G 連接FG BG AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 四邊形GFAB為平行四邊形 則AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 2 平面BCE 平面CDE 證明 ACD為等邊三角形 F為CD的中點 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 熱點三平面圖形的折疊問題 平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后 原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化 有的沒有發(fā)生變化 這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵 一般地 在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化 不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變 去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值 這是化解翻折問題的主要方法 例3如圖 1 在Rt ABC中 C 90 D E分別為AC AB的中點 點F為線段CD上的一點 將 ADE沿DE折起到 A1DE的位置 使A1F CD 如圖 2 1 求證 DE 平面A1CB 證明因為D E分別為AC AB的中點 所以DE BC 又因為DE 平面A1CB BC 平面A1CB 所以DE 平面A1CB 2 求證 A1F BE 證明由題圖 1 得AC BC且DE BC 所以DE AC 所以DE A1D DE CD 所以DE 平面A1DC 而A1F 平面A1DC 所以DE A1F 又因為A1F CD 所以A1F 平面BCDE 又BE 平面BCDE 所以A1F BE 3 線段A1B上是否存在點Q 使A1C 平面DEQ 請說明理由 解線段A1B上存在點Q 使A1C 平面DEQ 理由如下 如圖 分別取A1C A1B的中點P Q 則PQ BC 又因為DE BC 所以DE PQ 所以平面DEQ即為平面DEP 由 2 知 DE 平面A1DC 所以DE A1C 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點 所以A1C DP 所以A1C 平面DEP 從而A1C 平面DEQ 故線段A1B上存在點Q 使得A1C 平面DEQ 思維升華 1 折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口 2 存在探索性問題可先假設(shè)存在 然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理 得出矛盾或肯定結(jié)論 跟蹤演練3 2014 廣東 如圖 1 四邊形ABCD為矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如圖 2 折疊 折痕EF DC 其中點E F分別在線段PD PC上 沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M 并且MF CF 1 證明 CF 平面MDF 證明因為PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因為ABCD是矩形 CD AD PD與CD交于點D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 2 求三棱錐M CDE的體積 解因為PD DC BC 2 CD 1 PCD 60 過點F作FG CD交CD于點G 高考押題精練 1 2 1 不重合的兩條直線m n分別在不重合的兩個平面 內(nèi) 下列為真命題的是 A m n m B m n C m D m n 押題依據(jù)空間兩條直線 兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容 也是高考命題的熱點 此類題常與命題的真假性 充分條件和必要條件等知識相交匯 意在考查考生的空間想象能力 邏輯推理能力 1 2 解析構(gòu)造長方體 如圖所示 因為A1C1 AA1 A1C1 平面AA1C1C AA1 平面AA1B1B 但A1C1與平面AA1B1B不垂直 平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直 所以選項A B都是假命題 CC1 AA1 但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行 所以選項D為假命題 1 2 若兩平面平行 則平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面 是真命題 故選C 答案C 1 2 2 如圖 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知DC DD1 2AD 2AB AD DC AB DC 1 求證 D1C AC1 2 問在棱CD上是否存在點E 使D1E 平面A1BD 若存在 確定點E位置 若不存在 說明理由 1 2 押題依據(jù)空間直線和平面的平行 垂直關(guān)系是立體幾何的重點內(nèi)容 也是高考解答題的熱點 結(jié)合探索性問題考查考生的空間想象能力 推理論證能力 是命題的常見形式 1 2 1 證明在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 連接C1D DC DD1 四邊形DCC1D1是正方形 DC1 D1C 又AD DC AD DD1 DC DD1 D AD 平面DCC1D1 又D1C 平面DCC1D1 1 2 AD D1C AD 平面ADC1 DC1 平面ADC1 且AD DC1 D D1C 平面ADC1 又AC1 平面ADC1 D1C AC1 1 2 2 解假設(shè)存在點E 使D1E 平面A1BD 連接AD1 AE D1E 設(shè)AD1 A1D M BD AE N 連接MN 平面AD1E 平面A1BD MN 要使D1E 平面A1BD 可使MN D1E 1 2 又M是AD1的中點 則N是AE的中點 又易知 ABN EDN AB DE 即E是DC的中點 綜上所述 當(dāng)E是DC的中點時 可使D1E 平面A1BD