第3講圓錐曲線的綜合問題 專題六解析幾何 高考真題體驗 熱點(diǎn)分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 解析如圖所示 設(shè)以 0 6 為圓心 以r為半徑的圓的方程為x2 y 6 2 r2 r 0 1 2 消掉x2得9y2 12y r2 46 0 令 122 4 9 r2 46 0 故選D 答案D 1 2 1 求橢圓E的方程 1 2 2 經(jīng)過點(diǎn) 1 1 且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P Q 均異于點(diǎn)A 證明 直線AP與AQ的斜率之和為2 得 1 2k2 x2 4k k 1 x 2k k 2 0 由已知 0 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 x1x2 0 1 2 從而直線AP AQ的斜率之和 考情考向分析 1 圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體 以參數(shù)處理為核心 考查范圍 最值問題 定點(diǎn) 定值問題 探索性問題 2 試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程 數(shù)形結(jié)合 分類討論等多種思想方法 對計算能力也有較高要求 難度較大 熱點(diǎn)一范圍 最值問題 熱點(diǎn)分類突破 圓錐曲線中的范圍 最值問題 可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值 或者利用式子的幾何意義求解 解由橢圓的定義 設(shè)橢圓的半焦距為c 由已知PF1 PF2 解如圖 由PF1 PQ PQ PF1 由橢圓的定義 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 進(jìn)而 PF1 PQ QF1 4a 由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2c 2 4c2 思維升華 解決范圍問題的常用方法 1 數(shù)形結(jié)合法 利用待求量的幾何意義 確定出極端位置后 數(shù)形結(jié)合求解 2 構(gòu)建不等式法 利用已知或隱含的不等關(guān)系 構(gòu)建以待求量為元的不等式求解 3 構(gòu)建函數(shù)法 先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù) 再求其值域 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 又a2 b2 c2 a2 4 b2 3 解顯然直線PQ不與x軸重合 當(dāng)直線PQ與x軸垂直時 PQ 3 F1F2 2 當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時 設(shè)直線PQ y k x 1 k 0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 整理 得 3 4k2 y2 6ky 9k2 0 當(dāng)直線PQ與x軸垂直時最大 且最大面積為3 設(shè) PF1Q內(nèi)切圓半徑為r 熱點(diǎn)二定點(diǎn) 定值問題 1 由直線方程確定定點(diǎn) 若得到了直線方程的點(diǎn)斜式 y y0 k x x0 則直線必過定點(diǎn) x0 y0 若得到了直線方程的斜截式 y kx m 則直線必過定點(diǎn) 0 m 2 解析幾何中的定值問題是指某些幾何量 線段的長度 圖形的面積 角的度數(shù) 直線的斜率等 的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān) 不依參數(shù)的變化而變化 而始終是一個確定的值 1 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 故a2 4 b2 3 2 若直線l y kx m與橢圓C相交于A B兩點(diǎn) A B不是左 右頂點(diǎn) 且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn) 求證 直線l過定點(diǎn) 并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 得 3 4k2 x2 8mkx 4 m2 3 0 又y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 mk x1 x2 m2 橢圓的右頂點(diǎn)為A2 2 0 AA2 BA2 x1 2 x2 2 y1y2 0 y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 由 得3 4k2 m2 0 當(dāng)m1 2k時 l的方程為y k x 2 直線過定點(diǎn) 2 0 與已知矛盾 思維升華 1 動直線l過定點(diǎn)問題解法 設(shè)動直線方程 斜率存在 為y kx t 由題設(shè)條件將t用k表示為t mk 得y k x m 故動直線過定點(diǎn) m 0 2 動曲線C過定點(diǎn)問題解法 引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程 再根據(jù)其對參變量恒成立 令其系數(shù)等于零 得出定點(diǎn) 1 求橢圓E的方程 解設(shè)橢圓的半焦距為c 2 過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線 若切線都存在斜率 求證 兩切線的斜率之積為定值 證明設(shè)點(diǎn)P x0 y0 過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y y0 k x x0 消去y得 3 2k2 x2 4k y0 kx0 x 2 kx0 y0 2 6 0 4k y0 kx0 2 4 3 2k2 2 kx0 y0 2 6 0 設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1 k2 兩條切線的斜率之積為常數(shù) 1 熱點(diǎn)三探索性問題 1 解析幾何中的探索性問題 從類型上看 主要是存在類型的相關(guān)題型 解決這類問題通常采用 肯定順推法 將不確定性問題明朗化 其步驟為 假設(shè)滿足條件的元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 用待定系數(shù)法設(shè)出 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組 若方程組有實數(shù)解 則元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 否則 元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 不存在 2 反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法 例3如圖 拋物線C y2 2px的焦點(diǎn)為F 拋物線上一定點(diǎn)Q 1 2 1 求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程 解把Q 1 2 代入y2 2px 得2p 4 所以拋物線方程為y2 4x 準(zhǔn)線l的方程為x 1 2 過焦點(diǎn)F的直線 不經(jīng)過Q點(diǎn) 與拋物線交于A B兩點(diǎn) 與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M 記QA QB QM的斜率分別為k1 k2 k3 問是否存在常數(shù) 使得k1 k2 k3成立 若存在 求出 的值 若不存在 說明理由 解由條件可設(shè)直線AB的方程為y k x 1 k 0 由拋物線準(zhǔn)線l x 1 可知M 1 2k 把直線AB的方程y k x 1 代入拋物線方程y2 4x 并整理 可得k2x2 2 k2 2 x k2 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 由根與系數(shù)的關(guān)系 因為A F B共線 所以kAF kBF k 即k1 k2 2k 2 又k3 k 1 可得k1 k2 2k3 即存在常數(shù) 2 使得k1 k2 k3成立 思維升華 解決探索性問題的注意事項 存在性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 1 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時 要分類討論 2 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時 先假設(shè)成立 再推出條件 3 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時 要思維開放 采取另外的途徑 1 求橢圓E的方程 解由已知 點(diǎn)C D的坐標(biāo)分別為 0 b 0 b 解當(dāng)直線AB的斜率存在時 設(shè)直線AB的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 當(dāng)直線AB斜率不存在時 直線AB即為直線CD 高考押題精練 1 求C1 C2的方程 押題依據(jù)本題將橢圓和拋物線聯(lián)合起來設(shè)置命題 體現(xiàn)了對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的綜合考查 關(guān)注知識交匯 突出綜合應(yīng)用是高考的特色 解 1 因為C1 C2的焦點(diǎn)重合 又a 0 所以a 2 拋物線C2的方程為y2 4x 則可設(shè)直線l的方程為y k x 1 P x1 y1 Q x2 y2 M x3 y3 N x4 y4