6 解析幾何 第四篇回歸教材 糾錯例析 幫你減少高考失分點 要點回扣 易錯警示 查缺補漏 欄目索引 要點回扣 1 直線的傾斜角與斜率 1 傾斜角的范圍為 0 2 直線的斜率 定義 傾斜角不是90 的直線 它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k 即k tan 90 傾斜角為90 的直線沒有斜率 斜率公式 經(jīng)過兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線的斜率為k x1 x2 直線的方向向量a 1 k 應用 證明三點共線 kAB kBC 問題1 1 直線的傾斜角 越大 斜率k就越大 這種說法正確嗎 答案錯 2 直線的方程 1 點斜式 已知直線過點 x0 y0 其斜率為k 則直線方程為y y0 k x x0 它不包括垂直于x軸的直線 2 斜截式 已知直線在y軸上的截距為b 斜率為k 則直線方程為y kx b 它不包括垂直于x軸的直線 5 一般式 任何直線均可寫成Ax By C 0 A B不同時為0 的形式 問題2已知直線過點P 1 5 且在兩坐標軸上的截距相等 則此直線的方程為 5x y 0或x y 6 0 3 點到直線的距離及兩平行直線間的距離 問題3兩平行直線3x 2y 5 0與6x 4y 5 0間的距離為 4 兩直線的平行與垂直 1 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 兩直線斜率存在 且不重合 則有l(wèi)1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 2 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 則有l(wèi)1 l2 A1B2 A2B1 0且B1C2 B2C1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 問題4設直線l1 x my 6 0和l2 m 2 x 3y 2m 0 當m 時 l1 l2 當m 時 l1 l2 當 時l1與l2相交 當m 時 l1與l2重合 1 m 3且m 1 3 5 圓的方程 1 圓的標準方程 x a 2 y b 2 r2 問題5若方程a2x2 a 2 y2 2ax a 0表示圓 則a 1 6 直線 圓的位置關系 1 直線與圓的位置關系直線l Ax By C 0和圓C x a 2 y b 2 r2 r 0 有相交 相離 相切 可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷 代數(shù)方法 判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況 0 相交 r 相離 d r 相切 2 圓與圓的位置關系已知兩圓的圓心分別為O1 O2 半徑分別為r1 r2 則 當 O1O2 r1 r2時 兩圓外離 當 O1O2 r1 r2時 兩圓外切 當 r1 r2 O1O2 r1 r2時 兩圓相交 當 O1O2 r1 r2 時 兩圓內(nèi)切 當0 O1O2 r1 r2 時 兩圓內(nèi)含 內(nèi)切 7 對圓錐曲線的定義要做到 咬文嚼字 抓住關鍵詞 例如橢圓中定長大于定點之間的距離 雙曲線定義中是到兩定點距離之差的 絕對值 否則只是雙曲線的其中一支 在拋物線的定義中必須注意條件 Fl 否則定點的軌跡可能是過點F且垂直于直線l的一條直線 問題7已知平面內(nèi)兩定點A 0 1 B 0 1 動點M到兩定點A B的距離之和為4 則動點M的軌跡方程是 8 求橢圓 雙曲線及拋物線的標準方程 一般遵循先定位 再定型 后定量的步驟 即先確定焦點的位置 再設出其方程 求出待定系數(shù) 4 拋物線的標準方程焦點在x軸上 y2 2px p 0 焦點在y軸上 x2 2py p 0 9 1 在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時 消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零 利用解的情況可判斷位置關系 有兩解時相交 無解時相離 有唯一解時 在橢圓中相切 在雙曲線中需注意直線與漸近線的關系 在拋物線中需注意直線與對稱軸的關系 而后判斷是否相切 2 直線與圓錐曲線相交時的弦長問題斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1 x1 y1 P2 x2 y2 則所得弦長 問題9已知F是拋物線y2 x的焦點 A B是該拋物線上的兩點 AF BF 3 則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 易錯點1直線的傾斜角與斜率關系不清 易錯警示 錯因分析本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個 一是利用導函數(shù)的幾何意義求出曲線在點P處的切線的斜率之后 不能利用基本不等式求出斜率的取值范圍 二是混淆直線傾斜角的取值范圍以及直線的傾斜角和斜率之間的關系 不能求出傾斜角的取值范圍 解析設曲線在點P處的切線斜率為k 因為ex 0 所以由基本不等式 又k 0 所以 1 k 0 易錯點2忽視直線的特殊位置 例2已知l1 3x 2ay 5 0 l2 3a 1 x ay 2 0 求使l1 l2的a的值 錯因分析本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況 即忽視a 0的情況 解當直線斜率不存在 即a 0時 有l(wèi)1 3x 5 0 l2 x 2 0 符合l1 l2 易錯點3焦點位置考慮不全 錯因分析本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓 其焦點在x軸上導致漏解 該題雖然給出了橢圓的方程 但并沒有確定焦點所在坐標軸 所以應該根據(jù)其焦點所在坐標軸進行分類討論 解析 當橢圓的焦點在x軸上時 則由方程 得a2 4 即a 2 則由方程 得b2 4 即b 2 所以a 4 故m a2 16 綜上 m 1或16 答案1或16 易錯點4忽視 判別式 致誤 錯因分析只利用根與系數(shù)的關系考慮中點坐標 而忽視直線與雙曲線相交于兩點的條件 解設被A 1 1 所平分的弦所在直線方程為y k x 1 1 2 k2 x2 2k k 1 x 3 2k k2 0 由 4k2 k 1 2 4 2 k2 2k 3 k2 0 設直線與雙曲線交點為M x1 y1 N x2 y2 故不存在被點A 1 1 平分的弦 易錯點5求離心率范圍忽視特殊情況 錯因分析忽視P為雙曲線右頂點的情況 導致離心率范圍縮小 解析設 PF2 m F1PF2 0 當點P在右頂點處時 當 時 由條件 得 PF1 2m F1F2 2 m2 2m 2 4m2cos 且 PF1 PF2 m 2a 又 1 cos 1 所以e 1 3 綜上 e 1 3 答案 1 3 易錯點6定點問題意義不明 例6已知拋物線y2 4x的焦點為F 過F作兩條相互垂直的弦AB CD 設弦AB CD的中點分別為M N 求證 直線MN恒過定點 錯因分析直線恒過定點是指無論直線如何變動 必有一個定點的坐標適合這條直線的方程 問題就歸結為用參數(shù)把直線的方程表示出來 無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解 本題容易出錯的地方有兩個 一是在用參數(shù)表示直線MN的方程時計算錯誤 二是在得到了直線系MN的方程后 對直線恒過定點的意義不明 找錯方程的常數(shù)解 證明由題設 知F 1 0 直線AB的斜率存在且不為0 設lAB y k x 1 k 0 代入y2 4x 得k2x2 2 k2 2 x k2 0 同理 可得N 2k2 1 2k 化簡整理 得yk2 x 3 k y 0 該方程對任意k恒成立 故不論k為何值 直線MN恒過點 3 0 查缺補漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析方法一如圖 過點P作圓的切線PA PB 切點為A B 由題意知 OP 2 OA 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 焦距相等B 實半軸長相等C 虛半軸長相等D 離心率相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析因為0 k 9 所以兩條曲線都表示雙曲線 故兩曲線只有焦距相等 故選A 答案A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 2B 4C 6D 8 解析設P x0 y0 直線AF的傾斜角為 準線l與x軸交于點B 由題意知 F 2 0 直線l x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 代入y2 8x得x0 6 PF x0 2 8 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析雙曲線的漸近線為bx ay 0 因為它與圓 x 2 2 y2 0相交 所以圓心 2 0 到該直線的距離小于圓的半徑 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析設P x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如圖 過Q作QQ l 垂足為Q 設l與x軸的交點為A 則 AF 4 QQ 3 根據(jù)拋物線定義可知 QQ QF 3 故選C 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 在平面直角坐標系xOy中 圓C的方程為x2 y2 8x 15 0 若直線y kx 2上至少存在一點 使得以該點為圓心 1為半徑的圓與圓C有公共點 則k的最大值是 解析圓C的標準方程為 x 4 2 y2 1 圓心為 4 0 由題意知 4 0 到kx y 2 0的距離應不大于2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 拋物線y2 2px p 0 的焦點為F 準線為l 經(jīng)過F的直線與拋物線交于A B兩點 交準線于C點 點A在x軸上方 AK l 垂足為K 若 BC 2 BF 且 AF 4 則 AKF的面積是 解析設點A x1 y1 其中y1 0 過點B作拋物線的準線的垂線 垂足為B1 則有 BF BB1 又 CB 2 FB 因此有 CB 2 BB1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 如圖 過拋物線y2 2px p 0 的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 則拋物線的方程是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析如圖 分別過點A B作準線的垂線AE BD 分別交準線于點E D 則 BF BD BC 2 BF BC 2 BD BCD 30 又 AE AF 3 AC 6 拋物線的方程是y2 3x 答案y2 3x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 其中一條漸近線方程為bx ay 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析根據(jù)題意 知直線l的斜率存在 設直線l的方程為y k x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 設點M的坐標為 x1 y1 點N的坐標為 x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11