第3講 圓的方程 1 掌握確定圓的幾何要素 2 掌握圓的標準方程與一般方程 1 圓的定義 在平面內 到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 確 定一個圓最基本的要素是圓心和半徑 a b x2 y2 r2 5 兩圓的位置關系設兩圓的半徑分別為R r 圓心距為d 兩圓相外離 d R r 公切線條數為4條 兩圓相外切 d R r 公切線條數為3條 2 兩圓相交 R r d R r 公切線條數為 條 兩圓內切 d R r 公切線條數為1條 兩圓內含 d R r 無公切線 A D 1 圓心為 0 4 且過點 3 0 的圓的方程為 A x2 y 4 2 25B x2 y 4 2 25C x 4 2 y2 25D x 4 2 y2 252 圓x2 y2 4x 6y 0的圓心坐標是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 3 若直線y x b平分圓x2 y2 8x 2y 8 0的周長 則b D A 3C 3 B 5D 5 4 以點 2 1 為圓心 且與直線x y 6相切的圓的方 程是 考點1 求圓的方程 例1 1 求經過點A 5 2 B 3 2 圓心在直線2x y 3 0上的圓的方程 解 1 方法一 從數的角度 選用標準式 設圓心P x0 y0 則由 PA PB 得 x0 5 2 y0 2 2 x0 3 2 y0 2 2 規(guī)律方法 1 確定一個圓的方程 需要三個獨立條件 選形式 定參數 是求圓的方程的基本方法 是指根據題設條件恰當選擇圓的方程的形式 進而確定其中的三個參數 因此利用待定系數法求圓的方程時 不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程 2 研究圓的問題 既要理解代數方法 熟練運用解方程思想 又要重視幾何性質及定義的運用 以降低運算量 總之 要數形結合 拓寬解題思路 與弦長有關的問題經常需要用到點到直線的距離公式 勾股定理 垂徑定理等 互動探究 1 2013年江西 若圓C經過坐標原點和點 4 0 且與直線 y 1相切 則圓C的方程是 考點2 與圓有關的最值問題 圖D24 互動探究 2 已知實數x y滿足 x 2 2 y 1 2 1 則2x y的最 大值為 最小值為 考點3 圓的綜合應用 例3 2014年重慶 已知直線x y a 0與圓心為C的圓x2 y2 2x 4y 4 0相交于A B兩點 且AC BC 則實數a的值為 答案 0或6 互動探究 3 2013年重慶 已知圓C1 x 2 2 y 3 2 1 圓C2 x 3 2 y 4 2 9 M N分別是圓C1 C2上的動點 P為x 軸上的動點 則 PM PN 的最小值為 A 思想與方法 利用函數與方程的思想探討與圓有關的定值問題 1 求橢圓E的方程 2 如圖7 3 1 設橢圓E的上 下頂點分別為A1 A2 P是橢圓上異于A1 A2的任一點 直線PA1 PA2分別交x軸于點N M 若直線OT與過點M N的圓G相切 切點為T 證明 線段OT的長為定值 并求出該定值 圖7 3 1 規(guī)律方法 本題涉及橢圓 圓 多條直線及多個點 先設點P x0 y0 求出直線PA1 直線PA2的方程 進一步求出點M N的坐標是基礎 再設圓心為G 則OT2 OG2 r2或直接利用切割線定理OT2 OM ON求解