第4講 古典概型與幾何概型 1 古典概型 1 理解古典概型及其概率計(jì)算公式 2 會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事 件發(fā)生的概率 2 隨機(jī)數(shù)與幾何概型 1 了解隨機(jī)數(shù)的意義 能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率 2 了解幾何概型的意義 1 基本事件的特點(diǎn) 1 任何兩個(gè)基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱(chēng)為古典概率模型 簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型 1 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè) 2 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 3 古典概型的概率公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè) 而且所有結(jié)果出模型即為古典概型 如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè) 那么事件A的概率 P A 4 幾何概型 長(zhǎng)度 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 面積或體積 成比例 則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型 簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型 5 幾何概型中 事件A的概率計(jì)算公式 6 要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) 1 無(wú)限性 在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè) 2 等可能性 每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 注意 幾何概型的試驗(yàn)中 事件A的概率P A 只與子區(qū)域A的幾何度量 長(zhǎng)度 面積或體積 成正比 而與A的位置和形狀無(wú)關(guān) 求試驗(yàn)中幾何概型的概率 關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和 整個(gè)區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 1 2013年江西 集合A 2 3 B 1 2 3 從A B中各 取任意一個(gè)數(shù) 則這兩數(shù)之和等于4的概率是 C 2 從甲 乙 丙三人中任選兩名代表 則甲被選中的概率 為 C 3 2013年福建 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0 1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a 則事件 3a 1 0 發(fā)生的概率為 4 如圖9 4 1的矩形 長(zhǎng)為5 寬為2 在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆 則我們可以估計(jì) 出陰影部分的面積為 圖9 4 1 考點(diǎn)1 古典概型 例1 1 2014年江西 人教版必修3P127 例3 擲兩顆均勻的 骰子 則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于 解析 擲兩顆均勻的骰子 點(diǎn)數(shù)的所有可能情況有6 6 36 種 其中兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的事件有 1 4 4 1 2 3 答案 B 答案 C 2 2014年湖北 隨機(jī)投擲兩枚均勻的骰子 他們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率為p1 點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率為p2 點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為p3 則 A p1 p2 p3B p2 p1 p3C p1 p3 p2D p3 p1 p2 規(guī)律方法 本題是考查古典概型 利用公式P A 古典概型必須明確判斷兩點(diǎn) 對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō) 所有可能出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個(gè) 出現(xiàn)的所有不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是列舉做到不重不漏 互動(dòng)探究 1 2014年四川 一個(gè)盒子里裝有3張卡片 分別標(biāo)記有數(shù)字1 2 3 這3張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同 隨機(jī)有放回地抽取3次 每次抽取1張 將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a b c 1 求 抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 的概率 解 1 由題意 a b c 的所有可能有3 3 3 27 種 設(shè) 抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足a b c 為事件A 則事件 A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3種 2 設(shè) 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 為事件B 考點(diǎn)2 幾何概型 例2 1 在面積為S的 ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P 則 解析 取AB的三等分點(diǎn)P 如圖D49 如果在線(xiàn)段BP上 圖D49 答案 A 2 向面積為S的 ABC內(nèi)任投一點(diǎn) 則PPBC的面積小 圖D50 答案 34 規(guī)律方法 應(yīng)用幾何概型求概率的步驟 把每一次試驗(yàn)當(dāng)做一個(gè)事件 看事件是否是等可能的且事件的個(gè)數(shù)是否是無(wú)限個(gè) 若是則考慮用幾何概型 將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形 并加以度量 將幾何概型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度 面積 體積之比 應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率 互動(dòng)探究 2 2014年遼寧 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖9 4 2所示的長(zhǎng)方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑 的半圓內(nèi)的概率是 圖9 4 2 答案 B 考點(diǎn)3 兩種概型與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用 例3 甲 乙兩人約定上午9時(shí)至12時(shí)在某地時(shí)見(jiàn)面 并約定任何一個(gè)人先到之后等另一個(gè)人不超過(guò)一個(gè)小時(shí) 一小時(shí)之內(nèi)若對(duì)方不來(lái) 則離去 如果他們兩人在9時(shí)到12時(shí)之間的任何時(shí)刻到達(dá)約定地的概率都是相等的 求他們見(jiàn)到面的概率 思維點(diǎn)撥 1 考慮甲 乙兩人分別到達(dá)某處的時(shí)間 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別用x軸 y軸表示甲 乙到達(dá)約會(huì)地時(shí)的時(shí)間 用0時(shí)到3時(shí)表示9時(shí)至12時(shí)的時(shí)間段 則試驗(yàn)發(fā)生包含的條件是 x y 0 x 3 0 y 3 2 兩人能會(huì)面的時(shí)間必須滿(mǎn)足 x y 1 這就將問(wèn)題化歸為幾何概型問(wèn)題 解 設(shè)9時(shí)后過(guò)了x小時(shí)甲到達(dá) 9時(shí)后過(guò)了y小時(shí)乙到達(dá) 取點(diǎn)Q x y 則0 x 3 0 y 3 兩人見(jiàn)到面的充要條件是 x y 1 如圖9 4 3 作出兩部分對(duì)應(yīng)圖形的 區(qū)域 得所求概率是 圖9 4 3 規(guī)律方法 將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為面積之比時(shí) 要注意總的基本事件和所求事件分別表示的區(qū)域 互動(dòng)探究 3 2014年重慶 由人教版必修3P137 例2改編 某校早上8 00開(kāi)始上課 假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 解析 用x表示小王到校的時(shí)間 30 x 50 用y表示小張到校的時(shí)間 30 y 50 則所有可能的結(jié)果對(duì)應(yīng)如圖D51所示的直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD區(qū)域 小張比小王至少早5分鐘到校 即x y 5 所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)?圖D51 易錯(cuò) 易混 易漏 幾何概型中容易混淆幾何量的比例題 1 在直角三角形ABC中 A 30 過(guò)直角頂 點(diǎn)C作射線(xiàn)CM交線(xiàn)段AB于M 則使 AM AC 的概率為 正解 如圖9 4 4 取AD AC A 30 此時(shí) ACD 75 則 BCD 15 欲使 AM AC CM必須在 BCD內(nèi) 其 圖9 4 4 答案 B 2 在直角三角形ABC中 A 30 在斜邊AB上任取一 點(diǎn)M 則使 AM AC 的概率為 答案 C 失誤與防范 請(qǐng)注意兩題的區(qū)別 過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線(xiàn)CM交線(xiàn)段AB于M 與 在斜邊AB上任取一點(diǎn)M 前者CM在直角內(nèi)等可能 結(jié)果應(yīng)該為角度的比 后者M(jìn)為斜邊AB上任一點(diǎn) 結(jié)果應(yīng)該為斜邊AB上的長(zhǎng)度比