第6講 離散型隨機變量的均值與方差 理解取有限個值的離散型隨機變量均值 方差的概念 能計算簡單離散型隨機變量的均值 方差 并能解決一些實際問題 1 離散型隨機變量的均值和方差 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 則稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 2 均值和方差的性質(zhì)設(shè)a b是常數(shù) 隨機變量X Y滿足Y aX b aE X b 則E Y E aX b D Y D aX b a2D X 3 兩點分布及二項分布的均值和方差 p np 1 若X服從兩點分布 則E X D X p 1 p 2 若X B n p 則E X D X np 1 p 1 已知隨機變量 的分布列是 B 則D A 0 6 B 0 8 C 1 D 1 2 D 2 已知 的分布列為 A E p D pqB E p D p2C E q D q2D E 1 p D p p2 其中p 0 1 則 3 已知X的分布列如下表 設(shè)Y 2X 1 則Y的數(shù)學(xué)期望 是 B C 考點1 離散型隨機變量的均值 例1 2014年天津 某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué) 4名女同學(xué) 在這10名同學(xué)中 3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院 其余7名同學(xué)來自物理 化學(xué)等其他互不相同的7個學(xué)院 現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)到希望小學(xué)進行支教活動 每位同學(xué)被選到的可能性相同 1 求選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率 2 設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù) 求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 1 設(shè) 選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院 為事件A 則 所以隨機變量X的分布列為 規(guī)律方法 1 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 則稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望 它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 2 求數(shù)學(xué)期望 均值 的關(guān)鍵是求出其分布列 若已知離散型分布列 可直接套用公式E X x1p1 x2p2 xipi xnpn求其均值 隨機變量的均值是一個常數(shù) 它不依賴于樣本的抽取 只要找準隨機變量及相應(yīng)的概率即可計算 互動探究 1 2013年廣東 已知離散型隨機變量X的分布列為 A 則X的數(shù)學(xué)期望E X 考點2 離散型隨機變量的方差 例2 2013年浙江 設(shè)袋子中裝有a個紅球 b個黃球 c個藍球 且規(guī)定 取出1個紅球得1分 取出1個黃球2分 取出1個藍球得3分 1 當a 3 b 2 c 1時 從該袋子中任取2個球 有放回 且每個球取到的機會均等 記隨機變量 為取出這2個球所得分數(shù)之和 求 的分布列 2 從該袋子中任取1個球 且每個球取到的機會均等 記b c 解 1 由已知 得當兩次取出的球分別是紅紅時 2 當兩次取出的球分別是紅黃 或黃紅時 3 當兩次取出的球分別是黃黃 紅藍 或藍紅時 4 當兩次取出的球分別是藍藍時 6 所以 的分布列是 當兩次取出的球分別是黃藍 或藍黃時 5 2 由已知 得 有三種取值即1 2 3 所以 的分布列是 故a b c 3 2 1 規(guī)律方法 1 一般地 若離散型隨機變量X的分布列為 xn E X 2pn為隨機變量X的方差 2 若X是隨機變量 且Y aX b 其中a b是常數(shù) 則Y也是隨機變量 則E Y E aX b aE X b D Y D aX b a2D X 3 均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平 如果兩個隨機變量的均值相等 還要看隨機變量的取值在均值周圍的變化 方差大 說明隨機變量取值較分散 方差小 說明取值較集中 互動探究 考點3 二項分布的綜合應(yīng)用 例3 2014年廣東 隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù) 單位 件 獲得數(shù)據(jù)如下 30 42 41 36 44 40 37 37 25 45 29 43 31 36 49 34 33 43 38 42 32 34 46 39 36 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下 1 確定樣本頻率分布表中n1 n2 f1和f2的值 2 根據(jù)上述頻率分布表 畫出樣本頻率分布直方圖 3 根據(jù)樣本頻率分布直方圖 求在該廠任取4人 至少有 1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的概率 解 1 n1 7 n2 2 f1 0 28 f2 0 08 2 樣本頻率分布直方圖如圖9 6 1 圖9 6 1 3 根據(jù)樣本頻率分布直方圖 每人的日加工零件數(shù)落在區(qū) 間 30 35 的概率為0 2 設(shè)所取的4人中 日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的人數(shù)為 則 B 4 0 2 P 1 1 P 0 1 1 0 2 4 1 0 4096 0 5904 所以所取的4人中 至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間 30 35 的概率約為0 5904 互動探究 3 2013年福建 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動 舉辦方設(shè)置了 人有且只有一次抽獎機會 每次抽獎中獎與否互不影響 晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品 1 若小明選擇方案甲抽獎 小紅選擇方案乙抽獎 記他們 的累計得分為X 求X 3的概率 2 若小明 小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進行抽獎 問 他們選擇何種方案抽獎 累計的得分的數(shù)學(xué)期望較大 思想與方法 利用分類討論思想求數(shù)學(xué)期望 例題 2014年湖北 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站 過去50年的水文資料顯示 水的年入流量X 年入流量 一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 單位 億立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超過120的年份有35年 超過120的年份有5年 將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率 并假設(shè)各年的年入流量相互獨立 1 求在未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概 率 2 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行 但每年發(fā)電機最 多可運行臺數(shù)受年入流量X限制 并有如下關(guān)系 若某臺發(fā)電機運行 則該臺年利潤為5000萬元 若某臺發(fā)電機未運行 則該臺年虧損800萬元 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺 2 記水電站年總利潤為Y萬元 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40 故1臺發(fā)電機運行的概率為 1 對應(yīng)的年利潤Y 5000 E Y 5000 1 5000 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 1臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 800 4200 因此P Y 4200 P 40 X 80 p1 0 2 當X 80時 2臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 10000 因此P Y 10000 P X 80 p2 p3 0 8 由此得Y的分布列如下 所以E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意 當40120時 3臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 綜上所述 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應(yīng)安裝 發(fā)電機2臺 規(guī)律方法 本題考查學(xué)生在不同背景下遷移知識的能力 關(guān)鍵在于如果迅速 準確將信息提取 加工 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 化歸為數(shù)學(xué)期望問題