第7講 直接證明與間接證明 1 了解直接證明的兩種基本方法 分析法和綜合法 了 解分析法和綜合法的思考過程 特點(diǎn) 2 了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解反證法 的思考過程 特點(diǎn) 1 直接證明 1 綜合法 定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 2 分析法 定義 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 定義 定理 公理等 為止 這種證明方法叫做分析法 2 間接證明 反證法 假設(shè)原命題不成立 經(jīng)過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明假設(shè)錯(cuò)誤 從而證明了原命題成立 這樣的證明方法叫做反證法 A 反證法B 分析法C 綜合法D 前面三種方法都不合適 B 2 用反證法證明命題 三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不 大于60 時(shí) 應(yīng)假設(shè) B A 三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B 三個(gè)內(nèi)角都大于60 C 三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)大于60 D 三個(gè)內(nèi)角中至多有兩個(gè)大于60 3 用反證法證明命題 若整系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 存在有理數(shù)根 那么a b c中至少有一個(gè)是偶數(shù) 下列假設(shè)正確的是 假設(shè)a b c都是偶數(shù) 假設(shè)a b c都不是偶數(shù) 假設(shè)a b c至多有一個(gè)是偶數(shù) 假設(shè)a b c至多有兩個(gè)是偶數(shù) 4 某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān) 若n k k N 時(shí)該命題成立 那么可推得當(dāng)n k 1時(shí) 該命題也成立 現(xiàn)在已知當(dāng)n C 5時(shí) 該命題不成立 那么可推得 A 當(dāng)n 6時(shí) 該命題不成立B 當(dāng)n 6時(shí) 該命題成立C 當(dāng)n 4時(shí) 該命題不成立D 當(dāng)n 4時(shí) 該命題成立 考點(diǎn)1 綜合法 例1 已知a b c為正實(shí)數(shù) a b c 1 互動(dòng)探究 考點(diǎn)2 分析法 互動(dòng)探究 證明 m 0 1 m 0 要證原不等式成立 即證 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 考點(diǎn)3 反證法 例3 2014年廣東廣州一模 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若p q r是三個(gè)互不相等的正整數(shù) 且p q r成等差數(shù)列 試判斷ap 1 aq 1 ar 1是否成等比數(shù)列 并說明理由 解 1 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 當(dāng)n 1時(shí) 有a1 1 1 S1 2 解得a1 2 由a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n 得a1 2a2 3a3 nan n 1 an 1 nSn 1 2 n 1 兩式相減 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 以下提供兩種方法 方法一 由 式 得 n 1 Sn 1 Sn nSn 1 n 1 Sn 2 即Sn 1 2Sn 2 Sn 1 2 2 Sn 2 S1 2 a1 2 4 0 數(shù)列 Sn 2 是以4為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 Sn 2 4 2n 1 即Sn 4 2n 1 2 2n 1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n 1 2 2n 2 2n 又a1 2也滿足上式 an 2n 方法二 由 式 得 n 1 an 1 nSn 1 n 1 Sn 2 n Sn 1 Sn Sn 2 得an 1 Sn 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn 1 2 得an 1 2an 由a1 2a2 S2 4 得a2 4 a2 2a1 an 1 2an n N 數(shù)列 an 是以a1 2為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 an 2n 2 ap 1 aq 1 ar 1不成等比數(shù)列 理由如下 p q r成等差數(shù)列 p r 2q 假設(shè)ap 1 aq 1 ar 1成等比數(shù)列 則 ap 1 ar 1 aq 1 2 即 2p 1 2r 1 2q 1 2 化簡(jiǎn) 得2p 2r 2 2q p r 2p 2r 2 2q 這與 式矛盾 故假設(shè)不成立 ap 1 aq 1 ar 1不成等比數(shù)列 規(guī)律方法 反證法主要適用于以下兩種情形 要證的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯 直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰 如果從正面出發(fā) 需要分成多種情形進(jìn)行分類討論 而從反面證明 只要研究一種或很少幾種情形 互動(dòng)探究 3 設(shè) an 是公比為q的等比數(shù)列 Sn是它的前n項(xiàng)和 1 求證 數(shù)列 Sn 不是等比數(shù)列 2 數(shù)列 Sn 是等差數(shù)列嗎 并說明理由 2 解 當(dāng)q 1時(shí) Sn 顯然是等差數(shù)列 當(dāng)q 1時(shí) Sn 不是等差數(shù)列 假設(shè)當(dāng)q 1時(shí) S1 S2 S3成等差數(shù)列 則2S2 S1 S3 即2a1 1 q a1 a1 1 q q2 a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 這與q 0相矛盾 綜上所述 當(dāng)q 1時(shí) Sn 是等差數(shù)列 當(dāng)q 1時(shí) Sn 不是等差數(shù)列