第2講 平面向量的數(shù)量積 1 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算 4 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角 會用數(shù)量積判斷兩 個平面向量的垂直關(guān)系 1 兩個向量的數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b 它們的夾角為 則數(shù)量 a b cos 叫做a與b的數(shù)量積 或內(nèi)積 記作a b 即a b a b cos 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0 即0 a 0 2 平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a b等于a的長度 a 與b在a的方向上的投影 b cos 的乘積 3 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a b都是非零向量 e是單位向量 為a與b 或e 的夾角 則 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 當(dāng)a與b同向時 a b a b 當(dāng)a與b 向時 a b a b 反 4 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 向量a與b的夾角為 則 1 已知a 2 b 4 10 且a b 則實(shí)數(shù) 的值為 C A 45 B 45 C 5 D 5 2 已知向量a b滿足 a 4 b 1 且a b 2 則a 與b的夾角大小為 B A 3 B 2 3 C 6 D 5 6 3 已知向量a x y b 1 2 且a b 1 3 則 a C 5 考點(diǎn)1 向量數(shù)量積的基本運(yùn)算 例1 1 2014年大綱 已知a b為單位向量 其夾角為60 則 2a b b A 1C 1 B 0D 2 解析 2a b b 2a b b2 2 a b cos60 b 2 2 1 1 cos60 1 0 故選B 答案 B 2 2013年北京順義第一次統(tǒng)練 已知向量a 2 1 b 2 k 且a 2a b 則實(shí)數(shù)k A 14 B 6 C 6 D 14 解析 a 2a b a 2a b 0 即2 a 2 a b 0 2 5 4 k 0 解得k 14 答案 D 規(guī)律方法 向量的數(shù)量積通常有兩種計算方法 一是利用坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 則a b x1x2 y1y2 二是利用數(shù)量積的定義 即a b a b cos 互動探究 1 2015年廣東江門一模 已知向量a 3 4 b 1 m 若a a b 0 則m C A 112 B 112 C 7 D 7 2 2013年安徽 若非零向量a b滿足 a 3 b a 2b 則a b夾角的余弦值為 13 解析 a 3 b a 2b a 2 9 b 2 a 2b 2 a 2 4 b 2 4a b a 2 4 b 2 4 a b cos 即9 b 2 4 b 2 12 b b cos 考點(diǎn)2 向量數(shù)量積在平面幾何中的應(yīng)用 例2 1 2013年山東泰安統(tǒng)測 如圖4 2 1 已知正六邊形 P1P2P3P4P5P6 則下列向量的數(shù)量積中最大的是 圖4 2 1 答案 A 圖D16 答案 16 規(guī)律方法 當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線段時 要根據(jù)向量加減法運(yùn)算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化 把題目中未知的向量用已知的向量表示出來 在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理及解三角形等知識 則AB AD的取值范圍是 互動探究 3 在邊長為1的等邊 ABC中 點(diǎn)D為BC邊上的一動點(diǎn) 考點(diǎn)3 向量的數(shù)量積在解析幾何中的應(yīng)用 規(guī)律方法 1 同弧的圓周角 圓外角和圓內(nèi)角中 圓內(nèi)角最大 圓外角最小 當(dāng)圓周角為直角時 只要判斷點(diǎn)與直徑兩端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的角是銳角還是鈍角即可知道該點(diǎn)是在圓內(nèi)還是圓外 2 在解析幾何中 兩個向量相等通常轉(zhuǎn)化為兩個分量相 等 3 對于解析幾何中的向量 通常要清楚向量的幾何意義 如垂直問題 平分問題 平行問題 等份問題等 互動探究 A 易錯 易混 易漏 向量中錯誤使用充要條件造成問題解答不全 例題 已知向量a m 2 m 3 b 2m 1 m 2 1 若向量a與b的夾角為直角 求實(shí)數(shù)m的值 2 若向量a與b的夾角為鈍角 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 正解 1 若a與b的夾角為直角 則a b 0 即 m 2 2m 1 m 3 m 2 0 失誤與防范 兩個向量a b 0等價于 a ba b 0 相當(dāng)于夾 角的余弦值小于零 我們知道cos 10中包括了兩個向量同向共線和夾角為銳角兩種情況 這兩點(diǎn)在解題中要特別注意