專題一 函數與導數 1高考考點 函數的零點及其函數的應用高考試題常常通過初等函數進一步考查函數的圖象和性質(如：定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等)，試題主要以基礎題和中檔題為主、也常常和數學其他分支交匯整合，試題則具有一定的綜合性、區(qū)分性 2易錯易漏 對零點的概念不明確、不能有效地利用數形結合的方法； 利用初等函數建立數學模型時出現不理解題意、隨意設元、錯誤建模以及計算失誤等 3歸納總結在解題中要熟悉初等函數的圖象和性質，注意貫穿數形結合思想、建立適當的函數模型解決有關零點的問題解答函數的應用題要注意審題、設元、列式，求解的每一個環(huán)節(jié)要注意導數在解題中的作用【解析】f(1)=2-3-10，故f(x)的零點一定位于區(qū)間(1,2)答案為A3( )2()A.(1,2) 1 B. 2,3 C.(3,4) .(20 D. 4950),xf xx函數的零點一定位于區(qū)間 福州質檢32【解析】根據“指數爆炸、直線上升、對數平緩增長”，所以應選A. 2.下表顯示出函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷它最可能的函數模型是()A. 一次函數模型 B. 二次函數模型C. 指數函數模型 D. 對數函數模型x45678910y151719212325273. 某學生離家去學校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進，跑累了再走余下的路程，下圖中，縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖形中較符合該學生的走法是() 【解析】一開始跑步前進，單位時間內離學校較近，跑累了再走余下的路程，單位時間內離學校較遠答案為D 2()A.1B.C.ln26D4.(2011).sinf xxf xxf xxxf xx某流程如圖所示，現輸入如下四個函數，則可以輸出的函數是 三明模擬 D.f x由流程圖看出是奇函數且存在零【】點，解析故選222100112_5.(201_1_)xkxkk 若方程的兩根中，一根在 和 之間，另一根在 和 之間，則實數廣東增城模擬的取值范圍是 22210,11,20010201 2()2 3f xxkxkfffk 設若函數的兩零點為 、則，由二次函數知識可知：【解析】， 1解決實際問題的解題過程： (1)對實際問題進行抽象概括，研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間的主、被動關系，并用x、y分別表示問題中的變量； (2)建立函數模型，將變量y表示為x的函數； (3)求解函數模型，根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特點，正確選擇函數知識求得函數模型的解，并還原為實際問題的解 2解決函數應用問題應著重下面一些步驟： (1)通過閱讀分析、畫圖、列表、歸類等方法，弄清數據之間的關系，數據的單位等等； (2)正確選擇變量，將問題的目標表示為這個變量的函數，注意函數的定義域； (3)研究函數的單調性、值域、最大(小)值、計算函數的特殊值等，注意發(fā)揮函數圖象的作用 3與函數有關的應用題，經常涉及物價、路程、產值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題解答這類問題的關鍵是正確建立相應的函數解析式，然后應用函數、方程和不等式的有關知識加以綜合解答 題型一 正比例、反比例、一次函數和二次函數模型【例1】某租賃公司擁有汽車100輛當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛租出的車每輛每月需要維護費200元(1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？(2)當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少元？ 212360036003000 12503000( )100(200)501( )(8000)(200) 501 16432000501 8 8 xxf xxf xx xxx 當每輛車的月租金定為元時，未租出的車輛數為，所以這時租出了設每輛車的月租金定為 元，則租賃公司的月收益為【解析】 理輛，整得車24100304200.50 x 所以，當x=4100時，f(x)最大，最大值為f(4100)=304200，答：當每輛車的月租金定為4100元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為304200元【點評】關于實際問題中最優(yōu)化問題是高考的?？贾R點，關鍵要正確建立目標函數f(x)=(100- )(x-200)，并借助相關的求最值方法進行求解 300050 x題型二 函數的零點問題 【例2】對定義在實數集上的函數f(x)，f(x)-x=0的零點記作x0，并稱為f(x)不動點(1)已知函數f(x)=ax2+bx-b (a0)有兩個不動點1和-3，求a，b；(2)若對于任意實數b，函數f(x)=ax2+bx-b (a0)總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍 1091.33013abbaabbb 【析】，得解 22(1)00(1)420axbxbbab ，即，化簡得b2+(4a-2)b+10，對bR恒成立，10，即(4a-2)2-40，所以0a1.故實數a的取值范圍是(0,1)【點評】函數的零點問題是高中數學中的新增問題，解決此類問題要充分利用函數圖象的特征和解方程的思想方法 題型三 分段函數模型 【例3】某集團公司在2000年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表： 一期2000年投入1億元興建垃圾堆肥廠年處理有機肥十多萬噸年綜合收益2千萬元二期2002年投入4億元興建垃圾焚燒發(fā)電一廠年發(fā)電量13億kWh年綜合收益4千萬元三期2004年投入2億元興建垃圾焚燒發(fā)電二廠年發(fā)電量13億kWh年綜合收益4千萬元如果每期的投資從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設2000年以后的x年的總收益為f(x)(單位：千萬元)，試求f(x)的表達式，并預測到哪一年能收回全部投資款 2 1,2242 3,424244 545710,6,xxfxxf xxxxxxxxxx 由表中的數據知，本題需用分段函數進行處理由表中的數據易得，顯然，當時，不能收回投資款當時，由【解析】24709.410.2010 xx，得到年可以收回全部，取所以投資款【點評】分段函數是根據實際問題分類討論函數的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的處理結果 226km / h400 km() km20 xx一批救災物資隨輛汽車從某市以的速度勻速開往處的災區(qū)，為安全【備起見，每兩輛汽車的前后間距不得小于，問這批物資全部到達災區(qū)，最少要多選例題】少小時？22254002540020210400254025() km40800 k0200m04xxtxxxxxttxx【解析】因此，當且設全部物資到達災區(qū)所需時間為 小時，由題意可知， 相當于：最后一輛車行駛了個所用的時僅當即時取間“，”號