第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 3 2復(fù)數(shù)的四則運算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則 2 能運用運算法則進行復(fù)數(shù)的四則運算 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗成功 知識鏈接 1 復(fù)數(shù)加法的實質(zhì)是什么 類似于實數(shù)的哪種運算方法 答實質(zhì)是實部與實部相加 虛部與虛部相加 類似于實數(shù)運算中的合并同類項 2 若復(fù)數(shù)z1 z2滿足z1 z2 0 能否認為z1 z2 答不能 如2 i i 0 但2 i與i不能比較大小 3 復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法有何不同 答復(fù)數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的 有一點不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則 1 設(shè)z1 a bi z2 c di是任意兩個復(fù)數(shù) 則z1 z2 z1 z2 2 對任意z1 z2 z3 C 有z1 z2 z1 z2 z3 a c b d i a c b d i z2 z1 z1 z2 z3 2 復(fù)數(shù)的乘法法則 設(shè)z1 a bi z2 c di a b c d R 則z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i 3 復(fù)數(shù)乘法的運算律對任意復(fù)數(shù)z1 z2 z3 C 有 z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 4 共軛復(fù)數(shù) 把的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)z a bi的共軛復(fù)數(shù)記作 即 實部相等 虛部互為相反數(shù) a bi 5 復(fù)數(shù)的除法法則 設(shè)z1 a bi z2 c di c di 0 要點一復(fù)數(shù)加減法的運算例1計算 1 5 6i 2 i 3 4i 解原式 5 2 3 6 1 4 i 11i 2 1 i i2 1 2i 1 2i 解原式 1 i 1 1 2i 1 2i 1 1 1 1 1 2 2 i 2 i 規(guī)律方法復(fù)數(shù)的加減法運算 就是實部與實部相加減作實部 虛部與虛部相加減作虛部 同時也把i看作字母 類比多項式加減中的合并同類項 跟蹤演練1計算 1 2 4i 3 4i 解原式 2 3 4 4 i 5 2 3 4i 2 i 1 5i 解原式 3 2 1 4 1 5 i 2 2i 要點二復(fù)數(shù)乘除法的運算例2計算 1 1 2i 3 4i 2 i 解 1 2i 3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i 2 3 4i 3 4i 解 3 4i 3 4i 32 4i 2 9 16 25 3 1 i 2 解 1 i 2 1 2i i2 2i 規(guī)律方法復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法法則進行 注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M行簡便運算 例如平方差公式 完全平方公式等 跟蹤演練2計算 1 2 i 2 i 解 2 i 2 i 4 i2 4 1 5 2 1 2i 2 解 1 2i 2 1 4i 2i 2 1 4i 4i2 3 4i 例3計算 1 1 2i 3 4i 規(guī)律方法復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式 再把分母實數(shù)化 方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù) 若分母是純虛數(shù) 則只需同時乘以i 1 i 要點三共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用例4已知復(fù)數(shù)z滿足 z 1 且 3 4i z是純虛數(shù) 求z的共軛復(fù)數(shù) 解設(shè)z a bi a b R 即a2 b2 1 因為 3 4i z 3 4i a bi 3a 4b 3b 4a i 而 3 4i z是純虛數(shù) 所以3a 4b 0 且3b 4a 0 規(guī)律方法本題使用了復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想 運用待定系數(shù)法 化解了問題的難點 跟蹤演練4已知復(fù)數(shù)z滿足 z 2iz 8 6i 求復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和 解設(shè)z a bi a b R 則z a2 b2 a2 b2 2i a bi 8 6i 即a2 b2 2b 2ai 8 6i a b 4 復(fù)數(shù)z的實部與虛部的和是4 1 復(fù)數(shù)z1 2 i z2 2i 則z1 z2 1 2 3 4 2 若z 3 2i 4 i 則z 解析z 4 i 3 2i 1 3i 1 2 3 4 1 3i 1 2 3 4 i 1 2 3 4 1 2 3 4 化簡得5a2 5 3a2 3 a2 4 則a 2 1 2 3 4 僅有a 2滿足 故a 2 答案 2 課堂小結(jié)1 復(fù)數(shù)的四則運算 1 復(fù)數(shù)的加減法和乘法類似于多項式的運算 復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律 結(jié)合律以及乘法對加法的分配律 2 在進行復(fù)數(shù)的除法運算時 通常先將除法寫成分式的形式 再把分子 分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù) 化簡后可得 類似于以前學(xué)習(xí)的分母有理化 2 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可以用來解決一些復(fù)數(shù)問題 3 復(fù)數(shù)問題實數(shù)化思想 復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的基本思想方法 其橋梁是設(shè)復(fù)數(shù)z a bi a b R 利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化