第2章 推理與證明 2 1合情推理與演繹推理2 1 2演繹推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 理解演繹推理的意義 2 掌握演繹推理的基本模式 并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理 3 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系 1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)挑戰(zhàn)自我 點(diǎn)點(diǎn)落實(shí) 2 課堂講義重點(diǎn)難點(diǎn) 個(gè)個(gè)擊破 3 當(dāng)堂檢測(cè)當(dāng)堂訓(xùn)練 體驗(yàn)成功 知識(shí)鏈接 1 演繹推理的結(jié)論一定正確嗎 答演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍 所以在演繹推理中 只要前提和推理形式正確 其結(jié)論就一定正確 2 如何分清大前提 小前提和結(jié)論 答在演繹推理中 大前提描述的是一般原理 小前提描述的是大前提里的特殊情況 結(jié)論是根據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷 這與平時(shí)我們解答問(wèn)題中的思考是一樣的 即先指出一般情況 從中取出一個(gè)特例 特例也具有一般意義 例如 平行四邊形對(duì)角線互相平分 這是一般情況 矩形是平行四邊形 這是特例 矩形對(duì)角線互相平分 這是特例具有一般意義 3 演繹推理一般是怎樣的模式 答 三段論 是演繹推理的一般模式 它包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情況 3 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對(duì)特殊情況做出的判斷 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1 演繹推理由的命題推演出命題的推理方法 通常稱為演繹推理 演繹推理是根據(jù)和 包括 等 按照嚴(yán)格的得到新結(jié)論的推理過(guò)程 是演繹推理的主要形式 一般性 特殊性 已有的事實(shí) 正確的結(jié)論 定義 公理 定理 邏輯法則 三段論 2 三段論 1 三段論的組成 大前提 提供了一個(gè) 小前提 指出了一個(gè) 結(jié)論 揭示了與的內(nèi)在聯(lián)系 特殊對(duì)象 特殊對(duì)象 一般性的原理 一般原理 2 三段論的常用格式為M P S M S P M是P S是P S是M 要點(diǎn)一用三段論的形式表示演繹推理例1把下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式 1 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點(diǎn)是100 所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 時(shí) 水會(huì)沸騰 解在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點(diǎn)是100 大前提在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 小前提水會(huì)沸騰 結(jié)論 2 一切奇數(shù)都不能被2整除 2100 1是奇數(shù) 所以2100 1不能被2整除 解一切奇數(shù)都不能被2整除 大前提2100 1是奇數(shù) 小前提2100 1不能被2整除 結(jié)論 3 三角函數(shù)都是周期函數(shù) y tan 是三角函數(shù) 因此y tan 是周期函數(shù) 解三角函數(shù)都是周期函數(shù) 大前提y tan 是三角函數(shù) 小前提y tan 是周期函數(shù) 結(jié)論 規(guī)律方法用三段論寫(xiě)推理過(guò)程時(shí) 關(guān)鍵是明確大 小前提 三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理 小前提指出了一種特殊情況 兩個(gè)命題結(jié)合起來(lái) 揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系 一般可省略大前提 有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略 在尋找大前提時(shí) 可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提 跟蹤演練1試將下列演繹推理寫(xiě)成三段論的形式 1 太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行 海王星是太陽(yáng)系中的大行星 所以海王星以橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行 解大前提 太陽(yáng)系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行 小前提 海王星是太陽(yáng)系里的大行星 結(jié)論 海王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行 2 所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱 鐵是導(dǎo)體 所以鐵通電時(shí)發(fā)熱 解大前提 所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱 小前提 鐵是導(dǎo)體 結(jié)論 鐵通電時(shí)發(fā)熱 3 一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù) 函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 所以y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 解大前提 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) 小前提 函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 結(jié)論 y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 4 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有形式an pn q p q是常數(shù) 數(shù)列1 2 3 n是等差數(shù)列 所以數(shù)列1 2 3 n的通項(xiàng)具有an pn q的形式 解大前提 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有形式an pn q 小前提 數(shù)列1 2 3 n是等差數(shù)列 結(jié)論 數(shù)列1 2 3 n的通項(xiàng)具有an pn q的形式 要點(diǎn)二演繹推理的應(yīng)用例2正三棱柱ABC A1B1C1的棱長(zhǎng)均為a D E分別為C1C與AB的中點(diǎn) A1B交AB1于點(diǎn)G 1 求證 A1B AD 證明連結(jié)BD 三棱柱ABC A1B1C1是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱 A1ABB1為正方形 A1B AB1 D是C1C的中點(diǎn) A1C1D BCD A1D BD G為A1B的中點(diǎn) A1B DG 又 DG AB1 G A1B 平面AB1D 又 AD 平面AB1D A1B AD 2 求證 EC 平面AB1D 證明連結(jié)GE EG A1A GE 平面ABC DC 平面ABC GE DC GE DC a 四邊形GECD為平行四邊形 EC GD 又 EC 平面AB1D DG 平面AB1D EC 平面AB1D 規(guī)律方法 1 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí) 應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提 但為了敘述的簡(jiǎn)潔 如果前提是顯然的 則可以省略 2 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理 即一連串的三段論 關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù) 大前提 小前提 注意前一個(gè)推理的結(jié)論會(huì)作為下一個(gè)三段論的前提 即f x f x 所以f x 是奇函數(shù) 任取x1 x2 R 且x1 x2 由于x1 x2 從而 所以f x1 f x2 故f x 為增函數(shù) 要點(diǎn)三合情推理 演繹推理的綜合應(yīng)用例3如圖所示 三棱錐A BCD的三條側(cè)棱AB AC AD兩兩互相垂直 O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影 1 求證 O為 BCD的垂心 證明 AB AD AC AD AB AC A AD 平面ABC 又BC 平面ABC AD BC 又 AO 平面BCD AO BC AD AO A BC 平面AOD BC DO 同理可證CD BO O為 BCD的垂心 2 類比平面幾何的勾股定理 猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個(gè)關(guān)系 并給出證明 證明 連結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于E 連結(jié)AE 由 1 知AD 平面ABC AE 平面ABC AD AE 又AO ED AE2 EO ED 規(guī)律方法合情推理僅是 合乎情理 的推理 它得到的結(jié)論不一定真 但合情推理常常幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律 為我們提供證明的思路和方法 而演繹推理得到的結(jié)論一定正確 前提和推理形式都正確的前提下 跟蹤演練3已知命題 若數(shù)列 an 是等比數(shù)列 且an 0 則數(shù)列bn n N 也是等比數(shù)列 類比這一性質(zhì) 你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì) 并證明你的結(jié)論 解類比等比數(shù)列的性質(zhì) 可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是 證明如下 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 1 因?qū)?shù)函數(shù)y logax是增函數(shù) 大前提 而y logx是對(duì)數(shù)函數(shù) 小前提 所以y logx是增函數(shù) 結(jié)論 上面推理的錯(cuò)誤是 1 2 3 4 大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 1 2 3 4 2 下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是 只填序號(hào) 兩條直線平行 同旁內(nèi)角互補(bǔ) 如果 A和 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 則 A B 180 由平面三角形的性質(zhì) 推測(cè)空間四面體的性質(zhì) 1 2 3 4 某校高三共有10個(gè)班 1班有51個(gè) 2班有53個(gè) 3班有52人 由此推測(cè)各班都超過(guò)50人 在數(shù)列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 由此歸納出 an 的通項(xiàng)公式答案 3 把 函數(shù)y x2 x 1的圖象是一條拋物線 恢復(fù)成三段論 則大前提 小前提 結(jié)論 1 2 3 4 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 函數(shù)y x2 x 1是二次函數(shù) 函數(shù)y x2 x 1的圖象是一條拋物線 4 指出下列推理中的錯(cuò)誤 并分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因 1 因?yàn)橹袊?guó)的大學(xué)分布在中國(guó)各地 大前提北京大學(xué)是中國(guó)的大學(xué) 小前提所以北京大學(xué)分布在中國(guó)各地 結(jié)論 1 2 3 4 解推理形式錯(cuò)誤 大前提中的M是 中國(guó)的大學(xué) 它表示中國(guó)的各所大學(xué) 而小前提中M雖然也是 中國(guó)的大學(xué) 但它表示中國(guó)的一所大學(xué) 二者是兩個(gè)不同的概念 故推理形式錯(cuò)誤 1 2 3 4 2 因?yàn)樗羞呴L(zhǎng)都相等的凸多邊形是正多邊形 大前提而菱形是所有邊長(zhǎng)都相等的凸多邊形 小前提所以菱形是正多邊形 結(jié)論解是錯(cuò)誤的 原因是大前提錯(cuò)誤 因?yàn)樗羞呴L(zhǎng)都相等 內(nèi)角也都相等的凸多邊形才是正多邊形 1 2 3 4 課堂小結(jié)1 演繹推理是從一般性原理出發(fā) 推出某個(gè)特殊情況的推理方法 只要前提和推理形式正確 通過(guò)演繹推理得到的結(jié)論一定正確 2 在數(shù)學(xué)中 證明命題的正確性都要使用演繹推理 推理的一般模式是三段論 證題過(guò)程中常省略三段論的大前提