第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)盤點(diǎn) 提煉主干 2 要點(diǎn)歸納整合要點(diǎn) 詮釋疑點(diǎn) 3 題型研修突破重點(diǎn) 提升能力 章末復(fù)習(xí)提升 1 復(fù)數(shù)的概念 1 虛數(shù)單位i 2 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z a bi a b R 3 復(fù)數(shù)的實(shí)部 虛部 虛數(shù)與純虛數(shù) 復(fù)數(shù)a bi a b R 2 復(fù)數(shù)集 3 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若兩個(gè)復(fù)數(shù)z1 a1 b1i z2 a2 b2i a1 b1 a2 b2 R 1 加法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 2 減法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 3 乘法 z1 z2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i 5 實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律 結(jié)合律 分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況 6 特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算 in n為正整數(shù) 的周期性運(yùn)算 1 i 2 2i 若 則 3 1 1 2 0 4 共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模 5 復(fù)數(shù)的幾何形式 1 用點(diǎn)Z a b 表示復(fù)數(shù)z a bi a b R 用向量表示復(fù)數(shù)z a bi a b R Z稱為z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0 2 任何一個(gè)復(fù)數(shù)z a bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z a b 也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量 題型一分類討論思想的應(yīng)用當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部含有字母時(shí) 利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行分類討論 分別確定什么情況下是實(shí)數(shù) 虛數(shù) 純虛數(shù) 當(dāng)x yi沒(méi)有說(shuō)明x y R時(shí) 也要分情況討論 解當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí) 當(dāng)a 6時(shí) z為實(shí)數(shù) 解當(dāng)z為虛數(shù)時(shí) a 1且a 6 即當(dāng)a 1 1 1 1 6 6 時(shí) z為虛數(shù) 解當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí) 不存在實(shí)數(shù)a 使z為純虛數(shù) 跟蹤演練1當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí) z a2 2a a2 3a 2 i 1 為實(shí)數(shù) 解z R a2 3a 2 0 解得a 1或a 2 2 為純虛數(shù) 解z為純虛數(shù) 故a 0 3 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi) 解z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 a 0 或a 2 a的取值范圍是 0 2 4 復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x y 0上 解依題設(shè) a2 2a a2 3a 2 0 a 2 題型二數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學(xué)思想 又是一種常用的數(shù)學(xué)方法 本章中 復(fù)數(shù)本身的幾何意義 復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn) 它們得以相互轉(zhuǎn)化 涉及的主要問(wèn)題有復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置 復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問(wèn)題等 例2已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1 2i 2 6i OA BC 求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z 解設(shè)z x yi x y R 如圖 OA BC OC BA kOA kBC zC zB zA OA BC x2 3 y2 4 舍去 故z 5 跟蹤演練2已知復(fù)數(shù)z1 i 1 i 3 1 求 z1 2 若 z 1 求 z z1 的最大值 解如圖所示 由 z 1可知 z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1 圓心為O 0 0 的圓 而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1 2 2 所以 z z1 的最大值可以看成是點(diǎn)Z1 2 2 到圓上的點(diǎn)的距離的最大值 由圖知 z z1 max z1 r r為圓半徑 題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用在求復(fù)數(shù)時(shí) 常設(shè)復(fù)數(shù)z x yi x y R 把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x y滿足的條件 即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本思想在本章中非常重要 例3已知z是復(fù)數(shù) z 2i 均為實(shí)數(shù) 且 z ai 2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解設(shè)z x yi x y R 則z 2i x y 2 i為實(shí)數(shù) y 2 x 4 z 4 2i 又 z ai 2 4 2i ai 2 12 4a a2 8 a 2 i在第一象限 解得2 a 6 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2 6 跟蹤演練3已知x y為共軛復(fù)數(shù) 且 x y 2 3xyi 4 6i 求x y 解設(shè)x a bi a b R 則y a bi 又 x y 2 3xyi 4 6i 4a2 3 a2 b2 i 4 6i 題型四類比思想的應(yīng)用復(fù)數(shù)加 減 乘 除運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是實(shí)數(shù)的加減乘除 加減法是對(duì)應(yīng)實(shí) 虛部相加減 而乘法類比多項(xiàng)式乘法 除法類比根式的分子分母有理化 且要注意i2 1 在運(yùn)算的過(guò)程中常用來(lái)降冪的公式有 1 i的乘方 i4k 1 i4k 1 i i4k 2 1 i4k 3 i k Z 2 1 i 2 2i 3 設(shè) 則 3 1 2 1 2 0 2 3n 1 3n 1 n N 等 5 作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí) 有如下技巧 利用此結(jié)論可使一些特殊的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化 i i 0 2 i 3 i 1 2i 課堂小結(jié)高考對(duì)本章考查的重點(diǎn)1 對(duì)復(fù)數(shù)的概念的考查是考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ) 要求準(zhǔn)確理解虛數(shù)單位 復(fù)數(shù) 虛數(shù) 純虛數(shù) 共軛復(fù)數(shù) 實(shí)部 虛部 復(fù)數(shù)的模等概念 2 對(duì)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的考查可能性較大 要加以重視 其中復(fù) 數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算類似 對(duì)于復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 將分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù) 最后整理成a bi a b R 的結(jié)構(gòu)形式 3 對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查 在高考中一般會(huì)結(jié)合復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)加減法的幾何意義