第2課時分段函數(shù)與映射 一 二 一 分段函數(shù)1 在現(xiàn)實生活中 常常使用表格描述兩個變量之間的對應關系 比如國內(nèi)郵寄信函 本埠 每封信函的重量和對應郵資如下表 一 二 1 郵資M是信函重量m的函數(shù)嗎 若是 其解析式是什么 提示 據(jù)函數(shù)定義知M是m的函數(shù) 其解析式為 2 在 1 中有幾個函數(shù) 為什么 提示 一個 因為 1 中的函數(shù)雖然有5個不同的部分 但不是5個函數(shù) 只不過在定義域的不同子集內(nèi) 對應關系不同而已 一 二 2 填空 如果函數(shù)y f x x A 根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍 有著不同的對應關系 則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù) 一 二 3 做一做 2 已知函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則f x 的值域為 2 由題圖可知 當x 2 4 時 f x 2 3 當x 5 8 時 f x 4 2 7 故函數(shù)f x 的值域為 4 3 答案 1 A 2 4 3 一 二 4 判斷正誤 分段函數(shù)是多個函數(shù) 答案 一 二 二 映射1 在某次數(shù)學測試中 高一 1 班的54名同學都取得了較好的成績 該班54名同學的名字構成集合A 他們的成績構成集合B 1 A中的每一個元素在B中有且只有一個元素與之對應嗎 提示 是的 2 從集合A到集合B的對應是函數(shù)嗎 為什么 提示 不是 因為集合A不是數(shù)集 2 填空 設A B是兩個非空的集合 如果按某一個確定的對應關系f 使對于集合A中的任意一個元素x 在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 那么就稱對應f A B為從集合A到集合B的一個映射 3 函數(shù)與映射有怎樣的關系 提示 函數(shù)是一種特殊的映射 一 二 4 做一做 已知M 1 2 3 N e g h 從M到N的四種對應方式如圖 其中是從M到N的映射的是 一 二 解析 選項A中 集合M中的元素2在集合N中沒有與之對應的元素 不具備任意性 并且集合M中的元素3在集合N中有兩個元素g h與之對應 也不具備唯一性 選項B中 集合M中的元素2在集合N中有兩個元素e h與之對應 不具備唯一性 選項D中 集合M中的元素3在集合N中有兩個元素g h與之對應 不具備唯一性 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究一求分段函數(shù)的值 2 若f x 2 求x的值 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟 1 先確定所求值對應的自變量屬于哪一段區(qū)間 2 再代入該段對應的解析式進行求值 直到求出值為止 當出現(xiàn)f f x0 的形式時 應從內(nèi)到外依次求值 2 已知函數(shù)值求自變量取值的步驟 1 先確定自變量 可能存在的區(qū)間及其對應的函數(shù)解析式 2 再將函數(shù)值代入到不同的解析式中 3 通過解方程求出自變量的值 4 檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi) 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 延伸探究在本例已知條件下 若f x 0 求x的取值范圍 2 x 0或0 x 2或x 2 x的取值范圍是 2 0 0 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究二分段函數(shù)的圖象例2畫出下列函數(shù)的圖象 并寫出它們的值域 2 y x 1 x 3 分析 先化簡函數(shù)解析式 再畫函數(shù)圖象 在畫分段函數(shù)的圖象時 要注意對應關系與自變量取值范圍的對應性 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 觀察圖象 得函數(shù)的值域為 1 2 將原函數(shù)式中的絕對值符號去掉 它的圖象如圖 觀察圖象 得函數(shù)的值域為 4 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟1 因為分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不一樣 所以它的圖象也由幾部分構成 有的可以是光滑的曲線段 有的也可以是一些孤立的點或幾段線段 畫圖時要特別注意區(qū)間端點處對應點的實虛之分 2 對含有絕對值的函數(shù) 要作出其圖象 首先根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號 將函數(shù)轉化為分段函數(shù)來畫圖象 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 解析 因為f 0 0 1 1 所以函數(shù)圖象過點 0 1 當x 0時 y x2 則函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在y軸左側的部分 因此只有選項C中的圖象符合 答案 C 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 探究三映射的判斷例3下列對應是A到B的映射的有 A 2018年俄羅斯足球世界杯參賽的足球運動員 B 2018年俄羅斯足球世界杯參賽的足球運動員的身高 f 每個運動員對應自己的身高 A 0個B 1個C 2個D 3個分析 緊扣映射概念中的 任意一個 存在唯一 即可判斷 解析 中 對于A中的元素 1 在B中沒有與之對應的元素 則 不是映射 中 由于每個運動員都有唯一的身高 則 是映射 中 對于A中的任一元素 在B中都有唯一的元素與之對應 則 是映射 答案 C 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟判斷一個對應是不是映射的兩個關鍵點 1 對于A中的任意一個元素 在B中是否有元素與之對應 2 在B中的對應元素是不是唯一的 注意 一對一 或 多對一 的對應都是映射 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 變式訓練2下列對應是A到B上的映射的是 A A N B N f x x 3 B A N B 1 1 2 f x 1 x D A N B R f x x的平方根解析 選項A 因為A中的元素3在對應關系f的作用下在B中找不到與之相對應的元素 所以不是映射 選項B 對于任意的正整數(shù)x 所得 1 x均為1或 1 在集合B中有唯一的1或 1與之對應 滿足映射的定義 所以是映射 選項C 0在f的作用下無意義 所以不是映射 選項D 正整數(shù)在實數(shù)集R中有兩個平方根與之對應 不滿足映射的概念 所以不是映射 答案 B 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 探究四根據(jù)分段函數(shù)圖象求解析式例4已知函數(shù)y f x 的圖象由圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成 則函數(shù)的解析式為 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 解析 根據(jù)圖象 設左側的射線對應的函數(shù)解析式為y kx b x 1 點 1 1 0 2 在射線上 左側射線對應的函數(shù)解析式為y x 2 x 1 同理 當x 3時 對應的函數(shù)解析式為y x 2 x 3 再設拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y a x 2 2 2 1 x 3 a 0 點 1 1 在拋物線上 a 2 1 a 1 當1 x 3時 對應的函數(shù)解析式為y x2 4x 2 1 x 3 綜上可知 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 變式訓練3已知函數(shù)f x 的圖象如圖所示 則f x 的解析式為 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 利用數(shù)形結合思想求方程根的個數(shù)典例對于m不同的取值范圍 討論方程x2 4 x 5 m的實根的個數(shù) 分析 可考慮給定方程左側對應函數(shù)的圖象 即畫出函數(shù)y x2 4 x 5的圖象 看圖象與直線y m的交點個數(shù)的變化便可得出結論 解 將方程x2 4 x 5 m實根的個數(shù)問題轉化為函數(shù)y x2 4 x 5的圖象與直線y m的交點個數(shù)問題 作出圖象 如圖所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 當m5時 直線y m與該圖象有兩個交點 故方程有兩個實根 反思感悟本題通過構造函數(shù) 利用數(shù)形結合的思想 直觀形象地通過圖象得出實數(shù)根的個數(shù) 但要注意這種方法一般只求根的個數(shù) 不需知道實數(shù)根的具體數(shù)值 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 變式訓練討論關于x的方程 x2 4x 3 a a R 的實數(shù)解的個數(shù) 解 作函數(shù)y x2 4x 3 及y a的圖象如圖所示 方程 x2 4x 3 a的實數(shù)解就是兩個函數(shù)圖象的交點 縱坐標相等 的橫坐標 因此原方程的解的個數(shù)就是這兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù) 當a1時 原方程有兩個實數(shù)解 當a 1時 原方程有三個實數(shù)解 當0 a 1時 原方程有四個實數(shù)解 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 A 0B C 2D 9解析 f f 3 f 0 答案 B 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 3 已知A R B x x 1 映射f A B 且A中元素x與B中元素y x2 1對應 則當y 2時 x 解析 由x2 1 2 得x 1 答案 1 解析 當a 0時 由a 1 2 得a 1 0 所以a 1符合題意 答案 1 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 當堂檢測 5 下列對應是不是從集合A到集合B的映射 為什么 1 A R B x R x 0 對應關系是 求平方 2 A 平面內(nèi)的圓 B 平面內(nèi)的矩形 對應關系是 作圓的內(nèi)接矩形 解 1 是映射 因為A中的任何一個實數(shù)的平方均大于或等于0 則在B中都能找到唯一的元素與之對應 2 不是映射 因為一個圓有無窮多個內(nèi)接矩形 即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應