3 2 2函數(shù)模型的應(yīng)用實例 一 二 一 利用具體函數(shù)模型解決實際問題1 常見的數(shù)學(xué)模型有哪些 提示 利用具體函數(shù)解決實際問題是我們需要關(guān)注的內(nèi)容 具體函數(shù)的運用在生活中有很多體現(xiàn) 在學(xué)習(xí)完函數(shù)這部分內(nèi)容以后 希望同學(xué)們能重點運用一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 分段函數(shù)等常見函數(shù)來解決問題 下面是幾種常見的函數(shù)模型 1 一次函數(shù)模型 f x kx b k b為常數(shù) k 0 3 二次函數(shù)模型 f x ax2 bx c a b c為常數(shù) a 0 注意 二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型 在高考的應(yīng)用題考查中最為常見 一 二 4 指數(shù)函數(shù)模型 f x a bx c a b c為常數(shù) a 0 b 0 且b 1 5 對數(shù)函數(shù)模型 f x mlogax n m n a為常數(shù) m 0 a 0 且a 1 6 冪函數(shù)模型 f x axn b a b n為常數(shù) a 0 n 1 7 分段函數(shù)模型 這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合 因此應(yīng)用也十分廣泛 一 二 2 做一做 1 某種細胞分裂時 由1個分裂成2個 2個分裂成4個 現(xiàn)有2個這樣的細胞 分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是 A y 2xB y 2x 1C y 2xD y 2x 1 2 假設(shè)某種商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R a 廣告效應(yīng)D R A 則當A 時 取得最大的廣告效應(yīng) 解析 1 分裂一次后由2個變成2 2 22 個 分裂兩次后變成4 2 23 個 分裂x次后變成2x 1個 一 二 二 擬合函數(shù)模型1 應(yīng)用擬合函數(shù)模型解決問題的基本過程 一 二 2 解答函數(shù)實際應(yīng)用問題時 一般要分哪四步進行 提示 第一步 分析 聯(lián)想 轉(zhuǎn)化 抽象 第二步 建立函數(shù)模型 把實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 第三步 解答數(shù)學(xué)問題 求得結(jié)果 第四步 把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論 做出解答 而這四步中 最為關(guān)鍵的是把第二步處理好 只要把函數(shù)模型建立妥當 所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解 一 二 3 做一做 紅豆生南國 春來發(fā)幾枝 圖中給出了紅豆生長時間t 月 與枝數(shù)y 枝 的散點圖 那么紅豆的枝數(shù)與生長時間的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好 A 指數(shù)函數(shù)y 2tB 對數(shù)函數(shù)y log2tC 冪函數(shù)y t3D 二次函數(shù)y 2t2解析 根據(jù)所給的散點圖 觀察可知圖象在第一象限 且從左到右圖象是上升的 并且增長速度越來越快 根據(jù)四個選項中函數(shù)的增長趨勢可得 用指數(shù)函數(shù)模型擬合最好 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 探究一一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1 1 某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y 元 與日產(chǎn)量x 套 之間的關(guān)系為y 6x 30000 而出廠價格為每套12元 要使該廠不虧本 至少日生產(chǎn)文具盒 A 2000套B 3000套C 4000套D 5000套 2 某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果 假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元 市場調(diào)查發(fā)現(xiàn) 若每箱以50元的價格銷售 平均每天銷售90箱 價格每提高1元 平均每天少銷售3箱 求平均每天的銷售量y 箱 與銷售單價x 元 箱 之間的函數(shù)關(guān)系式 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w 元 與銷售單價x 元 箱 之間的函數(shù)關(guān)系式 當每箱蘋果的售價為多少元時 可以獲得最大利潤 最大利潤是多少 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 1 解析 因利潤z 12x 6x 30000 所以z 6x 30000 由z 0解得x 5000 故至少日生產(chǎn)文具盒5000套 答案 D 2 解 根據(jù)題意 得y 90 3 x 50 化簡 得y 3x 240 50 x 55 x N 因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤 平均每天的銷售量 每箱銷售利潤 所以w x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 50 x 55 x N 因為w 3x2 360 x 9600 3 x 60 2 1200 所以當x 60時 w隨x的增大而增大 又50 x 55 x N 所以當x 55時 w有最大值 最大值為1125 所以當每箱蘋果的售價為55元時 可以獲得最大利潤 且最大利潤為1125元 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 反思感悟1 一次函數(shù)模型的應(yīng)用利用一次函數(shù)求最值 常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax b 0 或 0 解答時 注意系數(shù)a的正負 也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值 2 二次函數(shù)模型的應(yīng)用構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時 可以利用配方法 判別式法 換元法 討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值 也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解 但一定要注意自變量的取值范圍 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 變式訓(xùn)練1 1 商店出售茶壺和茶杯 茶壺定價為每個20元 茶杯每個5元 該商店推出兩種優(yōu)惠辦法 買一個茶壺贈一個茶杯 按總價的92 付款 某顧客需購買茶壺4個 茶杯若干個 不少于4個 若購買茶杯x 個 付款y 元 試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式 并討論該顧客買同樣多的茶杯時 兩種辦法哪一種更優(yōu)惠 2 某自來水廠的蓄水池存有400噸水 水廠每小時可向蓄水池中注水60噸 同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水 t小時內(nèi)供水總量為120噸 0 t 24 從供水開始到第幾小時時 蓄水池中的存水量最少 最少存水量是多少噸 若蓄水池中水量少于80噸時 就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象 請問 在一天的24小時內(nèi) 有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解 1 由優(yōu)惠辦法 可得函數(shù)解析式為y1 20 4 5 x 4 5x 60 x 4 且x N 由優(yōu)惠辦法 可得y2 5x 20 4 92 4 6x 73 6 x 4 且x N y1 y2 0 4x 13 6 x 4 且x N 令y1 y2 0 得x 34 所以 當購買34個茶杯時 兩種優(yōu)惠辦法付款相同 當4 x34時 y1 y2 優(yōu)惠辦法 更省錢 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 2 設(shè)t小時后蓄水池中的存水量為y噸 所以y 400 10 x2 120 x 10 x 6 2 40 當x 6 即t 6時 ymin 40 即從供水開始到第6小時時 蓄水池存水量最少 只有40噸 令400 10 x2 120 x 80 即x2 12x 32 0 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 探究二分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品 每年投入固定成本0 5萬元 此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0 25萬元 經(jīng)預(yù)測可知 市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件 當出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t 單位 百件 時 銷售所得的收入約為5t t2 萬元 1 若該公司的年產(chǎn)量為x 單位 百件 試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù) 2 當這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時 當年所得利潤最大 分析 利潤 銷售收入 總的成本 由于本題中的銷量只能為500件 但生產(chǎn)的數(shù)量不確定 所以模型確定為分段函數(shù)模型 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解 1 當05時 產(chǎn)品只能售出500件 所以 所以當x 4 75 百件 時 f x 有最大值 f x max 10 78125 萬元 當x 5時 f x 12 0 25 5 10 75 萬元 故當年產(chǎn)量為475件時 當年所得利潤最大 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 反思感悟1 分段函數(shù)的 段 一定要分得合理 不重不漏 2 分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集 3 分段函數(shù)的值域求法 逐段求函數(shù)值的范圍 最后比較再下結(jié)論 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 變式訓(xùn)練2甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律 每生產(chǎn)產(chǎn)品x 單位 百臺 其總成本為G x 單位 萬元 其中固定成本為2 8萬元 并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元 總成本 固定成本 生產(chǎn)成本 銷售收入R x 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡 即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉 根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律 請完成下列問題 1 寫出利潤函數(shù)y f x 的解析式 利潤 銷售收入 總成本 2 甲廠生產(chǎn)多少臺新產(chǎn)品時 可使盈利最多 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解 1 由題意得G x 2 8 x 2 當x 5時 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 f x 8 2 5 3 2 萬元 當0 x 5時 函數(shù)f x 0 4 x 4 2 3 6 當x 4時 f x 有最大值為3 6萬元 故當工廠生產(chǎn)4百臺時 可使盈利最大為3 6萬元 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 探究三指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例3一片森林原來的面積為a 計劃每年砍伐一些樹 且每年砍伐面積的百分比相等 當砍伐到面積的一半時 所用時間是10年 1 求每年砍伐面積的百分比 2 到今年為止 該森林已砍伐了多少年 3 今后最多還能砍伐多少年 分析 可建立指數(shù)函數(shù)模型求解 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解得n 15 故今后最多還能砍伐15年 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 反思感悟1 本題涉及平均增長率的問題 求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示 通?？梢员硎緸閥 N 1 p x 其中N為原來的基礎(chǔ)數(shù) p為增長率 x為時間 的形式 2 在實際問題中 有關(guān)人口增長 銀行利率 細胞分裂等增長問題 都常用到指數(shù)型函數(shù)模型 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 變式訓(xùn)練3大西洋鮭魚每年都要逆流而上 游回產(chǎn)地產(chǎn)卵 記鮭魚的游速為v 單位 m s 鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q 研究中發(fā)現(xiàn)v與log3成正比 且當Q 900時 v 1 1 求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式 2 計算一條鮭魚的游速是1 5m s時耗氧量的單位數(shù) 3 一條鮭魚要想把游速提高1m s 其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 故一條鮭魚的游速是1 5m s時的耗氧量為2700個單位 3 設(shè)鮭魚耗氧量為Q1 Q2時 游速分別為v1 v2 故鮭魚要想把游速提高1m s 其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?倍 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 探究四擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題例4為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響 在山上建立了一個觀察站 測量最大積雪深度xcm與當年灌溉面積yhm2 現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料 如下表所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 1 描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據(jù)點 x y 2 建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y f x 并作出其圖象 3 根據(jù)所建立的函數(shù)模型 若今年最大積雪深度為25cm 則可以灌溉的土地面積是多少 分析 首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)描出各點 然后通過觀察圖象來判斷問題所適用的函數(shù)模型 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解 1 數(shù)據(jù)點分布如圖甲所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 2 從圖甲中可以看到 數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近 由此 我們假設(shè)灌溉面積yhm2和最大積雪深度xcm滿足線性函數(shù)模型y a bx a b為常數(shù) b 0 取其中的兩組數(shù)據(jù) 10 4 21 1 24 0 45 8 用計算器可算得a 2 4 b 1 8 這樣 我們得到一個函數(shù)模型y 2 4 1 8x 作出函數(shù)圖象如圖乙 可以發(fā)現(xiàn) 這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好 這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系 3 由 2 得當x 25時 y 2 4 1 8 25 47 4 即當最大積雪深度為25cm時 可以灌溉土地47 4hm2 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 反思感悟?qū)τ诖祟悓嶋H應(yīng)用問題 關(guān)鍵是先建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式 再解決數(shù)學(xué)問題 然后驗證并結(jié)合問題的實際意義作出回答 這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題 函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟是 1 能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù) 表格 描出數(shù)據(jù)點 2 通過數(shù)據(jù)點 畫出 最貼近 的直線或曲線 即擬合直線或擬合曲線 如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上 滴 點 不漏 那么這將是個十分完美的事情 但在實際應(yīng)用中 這種情況一般是不會發(fā)生的 因此 使實際點盡可能地均勻分布在直線或曲線兩側(cè) 得出的擬合直線或擬合曲線就是 最貼近 的了 3 根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識 求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式 4 利用函數(shù)關(guān)系式 根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制 為決策和管理提供依據(jù) 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 延伸探究根據(jù)本例所建立的函數(shù)模型 若明年可以灌溉的土地面積是56 4hm2 則最大積雪深度為多少 解 當y 56 4時 由56 4 2 4 1 8x 解得x 30 即最大積雪深度為30cm 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 求函數(shù)最值時忽略了實際情況對函數(shù)定義域的限制而致錯典例如圖所示 在矩形ABCD中 已知AB a BC b b a 在AB AD CD CB上分別截取AE AH CG CF 且AE AH CG CF x 問 當x為何值時 四邊形EFGH的面積最大 并求出最大面積 錯解設(shè)四邊形EFGH的面積為S 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 以上解題過程中都有哪些錯誤 出錯的原因是什么 你如何改正 如何防范 提示 錯解中沒有考慮所得二次函數(shù)的定義域 就直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解 從而導(dǎo)致出錯 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 正解 設(shè)四邊形EFGH的面積為S 則 當a 3b x b時 S有最大值ab b2 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 防范措施對實際問題中的函數(shù)解析式一定要注意自變量x受實際問題的約束 看似一個細節(jié)失誤 但會造成嚴重錯誤 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 變式訓(xùn)練如圖 OAB是邊長為2的正三角形 記 OAB位于直線x t t 0 左側(cè)的圖形的面積為f t 則函數(shù)f t 的解析式為 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 1 一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示 則圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是 A 分段函數(shù)B 二次函數(shù)C 指數(shù)函數(shù)D 對數(shù)函數(shù)解析 由題圖知 在不同的時間段內(nèi) 對應(yīng)的圖象不同 故對應(yīng)函數(shù)模型應(yīng)為分段函數(shù) 答案 A 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 2 某地區(qū)植被被破壞 土地沙化越來越嚴重 最近三年測得沙漠增加值分別為0 2萬公頃 0 4萬公頃和0 76萬公頃 則沙漠面積增加數(shù)y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是 解析 當x 1時 否定選項B 當x 3時 否定選項A D 檢驗C項較為接近 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 3 某汽車銷售公司在A B兩地銷售同一種品牌車 在A地的銷售利潤 單位 萬元 為y1 4 1x 0 1x2 在B地的銷售利潤 單位 萬元 為y2 2x 其中x為銷售量 單位 輛 若該公司在這兩地共銷售16輛這種品牌車 則能獲得的最大利潤是 A 10 5萬元B 11萬元C 43萬元D 43 025萬元 解析 設(shè)該公司在A地銷售x輛時 獲得的總利潤為y萬元 則 又0 x 16 且x N 所以當x 10或x 11時 y取最大值43 即能獲得的最大利潤為43萬元 答案 C 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 4 已知有A B兩個水桶 桶A中開始有aL水 桶A中的水不斷流入桶B tmin后 桶A中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1 ae nt 那么桶B中的水就是y2 a ae nt n為常數(shù) 假設(shè)5min時 桶A和桶B中的水量相等 再過min 桶A中的水只有L 解析 因為5min時 桶A和桶B中的水量相等 所以a e 5n a a e 5n 答案 10 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 5 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測 發(fā)生于沿海M地的臺風(fēng)一直向正南方向移動 其移動速度v 單位 km h 與時間t 單位 h 的函數(shù)圖象如圖所示 過線段OC上一點T t 0 作橫軸的垂線l 梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為時間t內(nèi)臺風(fēng)所經(jīng)過的路程s 單位 km 1 當t 4時 求S的值 2 將S隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來 3 若N城位于M地正南方向 且距M地650km 試判斷這場臺風(fēng)是否會侵襲到N城 如果會 在臺風(fēng)發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城 如果不會 請說明理由 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 解 1 由題圖可知 直線OA的方程是v 3t 0 t 10 直線BC的方程是v 2t 70 20 t 35 當t 4時 v 12 探究一 探究二 探究三 探究四 思維辨析 當堂檢測 綜上可知 s隨t變化的規(guī)律是當t 10 20 時 Smax 30 20 150 450 650 當t 20 35 時 令 t2 70t 550 650 解得t 30或t 40 舍去 即在臺風(fēng)發(fā)生30小時后將侵襲到N城