第三篇三角函數(shù) 解三角形 必修4 必修5 1 從高考題型 題量來看 一般有兩種方式 三個小題或一個小題另加一個解答題 分值上占17分左右 2 客觀題主要考查 三角函數(shù)的定義 圖象與性質 同角三角函數(shù)關系 誘導公式 和 差 倍角公式 正 余弦定理等知識 3 難度較大的客觀題 主要在知識點的交匯處命題 如向量與三角的結合 正 余弦定理與三角恒等變換的結合等 主要考查數(shù)形結合 轉化與化歸思想 4 解答題涉及知識點較為綜合 涉及三角函數(shù)圖象與性質 三角恒等變換與解三角形知識較為常見 六年新課標全國卷試題分析 第1節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考綱展示1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能進行弧度與角度的互化 3 理解任意角三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 的定義 知識梳理自測 考點專項突破 易混易錯辨析 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導讀 1 相等角的終邊一定相同 終邊相同的角一定相等嗎 提示 不一定 因為終邊相同的角有無數(shù)個 它們之間相差360 的整數(shù)倍 2 若已知角 終邊上任意一點P x y 原點除外 你能用x y表示角 的正弦 余弦 正切嗎 知識梳理 1 角的概念 1 任意角 定義 角可以看成平面內繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的 一條射線 圖形 分類 角按旋轉方向分為 和 2 所有與角 終邊相同的角 連同角 在內 構成的角的集合是S 3 象限角 使角的頂點與重合 角的始邊與重合 那么 角的終邊在第幾象限 就說這個角是第幾象限角 如果角的終邊在坐標軸上 就認為這個角不屬于任何一個象限 正角 負角 零角 k 360 k Z 原點 x軸的非負半軸 重要結論 1 終邊相同 2k k Z 2 終邊關于x軸對稱 2k k Z 3 終邊關于y軸對稱 2k k Z 4 終邊關于原點對稱 2k k Z 2 弧度制 1 定義長度等于的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 弧度記作rad 半徑長 2 公式 3 規(guī)定正角的弧度數(shù)是一個 負角的弧度數(shù)是一個 零角的弧度數(shù)是0 正數(shù) 負數(shù) 3 任意角的三角函數(shù) 1 定義設角 終邊與單位圓交于P x y 則sin y cos x tan x 0 2 三角函數(shù)值在各象限內符號為正的口訣一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示 正弦線的起點都在x軸上 余弦線的起點都是原點 正切線的起點都是 1 0 如圖中有向線段MP OM AT分別叫做角 的 余弦線 正弦線 正切線 4 終邊相同的角的三角函數(shù) sin k 2 cos k 2 tan k 2 其中k Z 即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 sin cos tan 雙基自測 C A 2 如圖所示 在直角坐標系xOy中 射線OP交單位圓O于點P 若 AOP 則點P的坐標是 A cos sin B cos sin C sin cos D sin cos 解析 由三角函數(shù)的定義知xP cos yP sin 故選A 3 已知角 的終邊經(jīng)過點 4 3 則cos 等于 D 4 已知點P tan cos 在第三象限 則角 的終邊在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 由題意知tan 0 cos 0 所以 是第二象限角 故選B B 答案 考點專項突破在講練中理解知識 考點一 象限角與終邊相同的角 例1 已知角 45 在區(qū)間 720 0 內與角 有相同終邊的角 解析 由終邊相同的角關系知 k 360 45 k Z 所以當k 2時 675 當k 1時 315 答案 675 或 315 反思歸納 1 利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角 方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合 然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角 2 利用終邊相同的角的集合S 2k k Z 判斷一個角 所在的象限時 只需把這個角寫成 0 2 范圍內的一個角 與2 的整數(shù)倍的和 然后判斷角 的象限 跟蹤訓練1 1 2017 河北冀州中學月考 下列各角中 與60 角終邊相同的角是 A 60 B 600 C 1020 D 660 解析 1 與60 終邊相同的角一定可以寫成k 360 60 k Z的形式 令k 2可得 660 與60 終邊相同 故選D 答案 1 D 2 已知角 的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內 不包括邊界 則角 用集合可表示為 考點二 弧度制及扇形面積公式的應用 例2 已知一扇形的圓心角為 0 所在圓的半徑為R 1 若 60 R 10cm 求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積 2 若扇形的周長是一定值C C 0 當 為多少弧度時 該扇形有最大面積 反思歸納 1 利用扇形的弧長和面積公式解題時 要注意角的單位必須是弧度 2 求扇形面積最大值的問題時 常轉化為二次函數(shù)的最值問題 利用配方法使問題得到解決 考點三 三角函數(shù)的定義 考查角度1 三角函數(shù)定義的應用 反思歸納利用三角函數(shù)的定義 求一個角的三角函數(shù)值 需確定三個量 角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x 縱坐標y 該點到原點的距離r 解析 1 因為cos 0 所以 的終邊在第一象限或第三象限 故 是第三象限角 故選C 考查角度2 三角函數(shù)值的符號 例4 1 若cos 0 則 是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 反思歸納根據(jù)三角函數(shù)定義中x y的符號來確定各象限內三角函數(shù)的符號 理解并記憶 一全正 二正弦 三正切 四余弦 考查角度3 三角函數(shù)線 例5 1 導學號38486077設a sin 1 b cos 1 c tan 1 則有 A a b c B b a c C c a b D a c b 解析 1 如圖作出角 1rad的正弦線 余弦線及正切線 顯然b cos 1 OM 0 c tan 1 AT a sin 1 MP 0 即c a b 答案 1 C 反思歸納利用三角函數(shù)線解三角不等式時要注意邊界角的取舍 結合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍 備選例題 例1 2017 山東菏澤二模 若sin cos 且tan 0 則角 的終邊位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 因為sin cos 所以 一定不在第四象限 又tan 0 所以 是第二或第四象限角 可得 是第二象限角 故選B 例2 2017 內蒙古包頭質檢 已知角 的終邊經(jīng)過點P 4 3 則2sin cos 的值等于 易混易錯辨析用心練就一雙慧眼 利用定義求三角函數(shù)值的誤區(qū) 典例 已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 易錯分析 1 本題在求解時容易忽略r 5 t 直接寫成r 5t 導致丟失部分解 2 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的關鍵點是確定出終邊上點P的橫 縱坐標及P點到原點的距離 3 角的終邊是射線 而直線是向兩邊延伸的 所以角的終邊落在直線上 位置應有兩種 解題時易漏一種情況而出錯