第12節(jié)定積分的概念及簡單應(yīng)用 考綱展示1 了解定積分的實際背景 了解定積分的基本思想 了解定積分的概念 2 了解微積分基本定理的含義 知識梳理自測 考點(diǎn)專項突破 解題規(guī)范夯實 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導(dǎo)讀 定積分與曲邊梯形的面積有什么關(guān)系 提示 定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系如下 如圖 設(shè)陰影部分面積為S 知識梳理 積分下限 積分上限 積分區(qū)間 被積函數(shù) x f x dx x a x b a b y 0 A1 A3 A2 A4 2 微積分基本定理 牛頓 萊布尼茨公式 定理所滿足的條件 f x 是區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù) F x F b F a 3 定積分在物理中的應(yīng)用 重要結(jié)論 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a a 上連續(xù) 則有 雙基自測 A a c b B a b c C c b a D c a b D C 3 如圖 由函數(shù)f x ex e的圖象 直線x 2及x軸所圍成的陰影部分面積等于 B B 5 如果1N的力能拉長彈簧1cm 為了將彈簧拉長6cm 所耗費(fèi)的功為 A 0 18J B 0 26J C 0 12J D 0 28J A 考點(diǎn)專項突破在講練中理解知識 考點(diǎn)一 定積分的計算 答案 1 C 2 A 反思?xì)w納 1 定積分的計算方法有三個 定義法 幾何意義法和微積分基本定理法 其中利用微積分基本定理是最常用的方法 若被積函數(shù)有明顯的幾何意義 則考慮用幾何意義法 定義法太麻煩一般不用 2 運(yùn)用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點(diǎn) 對被積函數(shù)要先化簡 再求積分 求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分 依據(jù)定積分 對區(qū)間的可加性 分段積分再求和 對于含有絕對值符號的被積函數(shù) 要先去掉絕對值號再求積分 注意用 F x f x 檢驗積分的對錯 提醒 被積函數(shù)若含有絕對值號 應(yīng)先去絕對值號 再分段積分 答案 3 2 4 1 考點(diǎn)二 應(yīng)用定積分求面積 例2 1 直線l過拋物線C x2 4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直 則l與C所圍成的圖形的面積等于 答案 1 C 2 已知曲線y x2與直線y kx k 0 所圍成的曲邊圖形的面積為 則k 答案 2 2 反思?xì)w納 1 利用定積分求曲邊梯形面積的步驟 畫出曲線的草圖 借助圖形 確定被積函數(shù) 求出交點(diǎn)坐標(biāo) 確定積分的上 下限 將 曲邊梯形 的面積表示成若干個定積分的和或差 計算定積分 寫出答案 2 利用定積分求面積時注意選擇合適的積分變量以簡化運(yùn)算 2 已知函數(shù)f x x3 x2 x 1 求其在點(diǎn) 1 2 處的切線與函數(shù)g x x2圍成的圖形的面積為 考點(diǎn)三 定積分在物理中的應(yīng)用 例3 一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時速度與時間的關(guān)系為v t t2 t 2 質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動 則此質(zhì)點(diǎn)在時間 1 2 內(nèi)的位移為 反思?xì)w納定積分在物理上的應(yīng)用主要是求做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)所走過的路程和求變力做功 在解題中把其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定積分求解即可 跟蹤訓(xùn)練3 1 從空中自由下落的一物體 在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂 在第二秒末物體落地 已知自由落體的運(yùn)動速度為v gt g為常數(shù) 則電視塔高為 答案 1 C 答案 2 36 備選例題 A 0 B 4 C 8 D 16 A ab C a b D a b 0 例3 曲線y 2x x2與y 2x2 4x所圍成圖形的面積為 答案 4 解題規(guī)范夯實把典型問題的解決程序化 弄不清平面圖形的邊界而出錯 典例 如圖 由兩條曲線y x2 4y x2及直線y 1所圍成的圖形的面積為 易錯分析 在求不規(guī)則圖形面積時 可以對圖形進(jìn)行分割或補(bǔ)形 把不可求的轉(zhuǎn)化為可求的 還可以變換積分變量 把y做為積分變量 正解 令y 1得到A 2 1 B 1 1 C 1 1 D 2 1 設(shè)圍成的圖形的面積為S 因為y軸兩邊的陰影部分關(guān)于y軸對稱