第4節(jié)指數(shù)函數(shù) 考綱展示 知識(shí)梳理自測(cè) 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 易混易錯(cuò)辨析 知識(shí)梳理自測(cè)把散落的知識(shí)連起來(lái) 2 如圖是指數(shù)函數(shù) 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的圖象 底數(shù)a b c d與1之間的大小關(guān)系如何 你能得到什么規(guī)律 提示 圖中直線x 1與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值 即c1 d1 1 a1 b1 所以c d 1 a b 一般規(guī)律 在y軸右 左 側(cè)圖象越高 低 其底數(shù)越大 3 指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 在其定義域上單調(diào)性如何 提示 當(dāng)01時(shí) y ax在R上單調(diào)遞增 知識(shí)梳理 1 根式 xn a 2 有理數(shù)指數(shù)冪 3 無(wú)理數(shù)指數(shù)冪無(wú)理數(shù)指數(shù)冪a a 0 是無(wú)理數(shù) 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪 4 指數(shù)函數(shù)的概念 圖象與性質(zhì) 0 y 1 重要結(jié)論 1 指數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱規(guī)律函數(shù)y ax的圖象與y a x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 y ax的圖象與y ax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱 y ax的圖象與y a x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 2 函數(shù)y af x a 0 且a 1 的值域 設(shè)函數(shù)u f x 的值域E 則函數(shù)y au u E 的值域是函數(shù)y af x a 0 且a 1 的值域 雙基自測(cè) 1 2018 沈陽(yáng)模擬 函數(shù)y ax 1 2 a 0 且a 1 的圖象恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為 A 2 2 B 2 4 C 1 2 D 1 3 D 解析 因?yàn)閍0 1 所以令x 1 0 所以ax 1 2 3 所以函數(shù)y ax 1 2 a 0 且a 1 的圖象恒過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 3 2 設(shè)a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 則a b c的大小關(guān)系是 A a b c B a c b C b a c D b c a 解析 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y 0 6x在R上為減函數(shù) 所以0 60 6 0 61 5 即a b 又01 所以a c 故選C C 3 函數(shù)y 2x 1的圖象是 解析 將函數(shù)y 2x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng) 2x 1的圖象 結(jié)合圖象知 選B B 答案 5 化簡(jiǎn) x 0 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算 反思?xì)w納指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則 1 有括號(hào)的先算括號(hào)里的 無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算 2 先乘除后加減 負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù) 3 底數(shù)是負(fù)數(shù) 先確定符號(hào) 底數(shù)是小數(shù) 先化成分?jǐn)?shù) 底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的 先化成假分?jǐn)?shù) 4 若是根式 應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 盡可能用冪的形式表示 運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答 提醒 運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù) 也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù) 考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2 1 函數(shù)y ax a 1 a 0 且a 1 的圖象可能是 2 直線y k與函數(shù)y 3x 1 的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 則k的取值范圍是 解析 2 畫(huà)出y 3x 1 的圖象 如圖 顯然 當(dāng)0 k 1時(shí) 符合題意 反思?xì)w納根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律 有以下結(jié)論 1 函數(shù)y ax b a 0 且a 1 的圖象 可由指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 的圖象向左 b 0 或向右 b0 且a 1 的圖象向上 b 0 或向下 b0 且a 1 的圖象相同 當(dāng)x 0時(shí) 其圖象與x 0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 跟蹤訓(xùn)練2 1 已知函數(shù)f x x a x b 其中a b 的圖象如圖所示 則函數(shù)g x ax b的圖象是 解析 1 由f x 的圖象知 0 a 1 b 1 排除C D 又g 0 1 b 0 排除B 故選A 2 2018 山東菏澤模擬 若函數(shù)f x 2x b 1 b R 的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限 則有 A b 1 B b 1 C b 0 D b 0 解析 2 因?yàn)閥 2x 當(dāng)x 0時(shí) y 0 1 所以 函數(shù)f x 2x b 1 b R 的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限 則有b 1 1 解得b 0 故選D 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用 反思?xì)w納 1 能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大小 2 不能化成同底數(shù)的 一般引入 1 等中間量比較大小 反思?xì)w納 1 形如ax ab的不等式 借助于函數(shù)y ax的單調(diào)性求解 如果a的取值不確定 需分a 1與0b的不等式 注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式 再借助于函數(shù)y ax的單調(diào)性求解 考查角度3 含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)問(wèn)題 例5 已知函數(shù)f x 2 2x m m為常數(shù) 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 則m的取值范圍是 答案 4 反思?xì)w納指數(shù)型函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題 在解決涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或最值問(wèn)題時(shí) 應(yīng)根據(jù)參數(shù)所在函數(shù)分類討論 反思?xì)w納形如f x a2x b ax c ab 0 的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題常用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)求解 備選例題 例2 2015 北京卷 2 3 log25三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是 例3 2015 山東卷 已知函數(shù)f x ax b a 0 a 1 的定義域和值域都是 1 0 則a b 例4 已知函數(shù)f x a x b a 0 a 1 b R 1 若f x 為偶函數(shù) 求b的值 解 1 因?yàn)閒 x 為偶函數(shù) 所以對(duì)任意的x R 都有f x f x 即a x b a x b x b x b 解得b 0 2 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 試求a b應(yīng)滿足的條件 解 2 記h x x b 當(dāng)a 1時(shí) f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 即h x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 所以 b 2 b 2 當(dāng)01且b 2 易混易錯(cuò)辨析用心練就一雙慧眼 忽視底數(shù)a對(duì)函數(shù)y ax的單調(diào)性的影響 典例 函數(shù)y ax a 0 a 1 在 0 1 上的最大值與最小值之差為 則a 易錯(cuò)分析 本題a 1與01 0 a 1兩種情況討論 得函數(shù)的最大值 最小值列方程求解