第2節(jié)一元二次不等式及其解法 考綱展示 知識梳理自測 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 易混易錯辨析 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導(dǎo)讀 1 若a 0 則函數(shù)y ax2 bx c與方程ax2 bx c 0與不等式ax2 bx c 0之間有何關(guān)系 提示 對于函數(shù)y ax2 bx c 令y 0可得ax2 bx c 0 令y 0可得ax2 bx c 0 也就是說函數(shù)y ax2 bx c的零點(diǎn)是方程ax2 bx c 0的根 也是不等式ax2 bx c 0解集的端點(diǎn)值 2 一元二次不等式ax2 bx c 0恒成立的條件是什么 知識梳理 1 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解過程用程序框圖表示為 雙基自測 1 不等式 x 1 2 x 0的解集為 A x 1 x 2 B x x 1或x 2 C x 12 A 解析 由 x 1 2 x 0可知 x 2 x 1 0 所以不等式的解集為 x 1 x 2 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 B B 4 不等式x2 ax 4 0的解集不是空集 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 因?yàn)閤2 ax 4 0的解集不是空集 則x2 ax 4 0一定有解 所以 a2 4 1 4 0 即a2 16 所以a 4或a 4 答案 4 4 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識 考點(diǎn)一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式 1 x2 7x 12 0 2 x2 2x 3 0 解 1 方程x2 7x 12 0的解為x1 3 x2 4 而y x2 7x 12的圖象開口向上 可得原不等式x2 7x 12 0的解集是 x x4 2 不等式兩邊同乘以 1 原不等式可化為x2 2x 3 0 方程x2 2x 3 0的解為x1 3 x2 1 而y x2 2x 3的圖象開口向上 可得原不等式 x2 2x 3 0的解集是 x 3 x 1 反思?xì)w納解一元二次不等式的步驟 1 將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù) 2 解相應(yīng)的一元二次方程 3 根據(jù)一元二次方程的根 結(jié)合不等號的方向畫圖 4 寫出不等式的解集 跟蹤訓(xùn)練1 1 函數(shù)f x log2 x2 2x 3 的定義域是 A 3 1 B 3 1 C 3 1 D 3 1 2 不等式 x2 3x 4 0的解集為 用區(qū)間表示 解析 1 由題意得x2 2x 3 0 即 x 1 x 3 0 解得x 1或x0 x 4 x 1 0 4 x 1 答案 1 D 2 4 1 考點(diǎn)二 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 例2 導(dǎo)學(xué)號18702278解關(guān)于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 解 原不等式可化為 x 1 ax 1 1 反思?xì)w納解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟 1 二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是小于零 還是大于零 若小于零將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式 2 判斷方程的根的個數(shù) 討論判別式 與0的關(guān)系 3 確定無根時可直接寫出解集 確定方程有兩個根時 要討論兩根的大小關(guān)系 從而確定解集形式 跟蹤訓(xùn)練2 解關(guān)于x的不等式ax2 2 2x ax a R 考點(diǎn)三 一元二次不等式恒成立問題 反思?xì)w納 1 一元二次不等式恒成立問題 對于x變化的情形 利用參變量分離法 化成a f x af x max a f x min 求出參數(shù)范圍 也可化歸為二次函數(shù) 由于是軸動區(qū)間定 結(jié)合二次函數(shù)對稱軸與定義域的位置關(guān)系 單調(diào)性等相關(guān)知識 求出參數(shù)范圍 2 對于參數(shù)變化的情形 大多利用參變量轉(zhuǎn)換法 即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量 變量轉(zhuǎn)換為參數(shù) 把關(guān)于x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于a的一次不等式 化繁為簡 然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性 求出x的取值范圍 跟蹤訓(xùn)練3 1 設(shè)函數(shù)f x mx2 mx 1 若對于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 2 對于滿足 a 2的所有實(shí)數(shù)a 求使不等式x2 ax 1 2x a成立的x的取值范圍 考點(diǎn)四 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用 例4 導(dǎo)學(xué)號18702280某商品每件成本價為80元 售價為100元 每天售出100件 若售價降低x成 1成 10 售出商品數(shù)量就增加x成 要求售價不能低于成本價 1 設(shè)該商品一天的營業(yè)額為y 試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f x 并寫出定義域 2 若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元 求x的取值范圍 反思?xì)w納求解不等式應(yīng)用題的方法 1 閱讀理解 認(rèn)真審題 把握問題中的關(guān)鍵量 找準(zhǔn)不等關(guān)系 2 引進(jìn)數(shù)學(xué)符號 將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言 用不等式表示不等關(guān)系 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型 3 解不等式 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義 4 回歸實(shí)際問題 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果 跟蹤訓(xùn)練4 某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣 日銷貨量x件與貨價p元 件之間的關(guān)系為p 160 2x 生產(chǎn)x件所需成本為C 500 30 x元 則該廠日產(chǎn)量為時 日獲利不少于1300元 解析 由題意 得 160 2x x 500 30 x 1300 化簡得x2 65x 900 0 解之得20 x 45 因此 該廠日產(chǎn)量在20件至45件時 日獲利不少于1300元 答案 20件至45件 備選例題 例1 已知a 1 x b x2 x x m為實(shí)數(shù) 求使m a b 2 m 1 a b 1 0成立的x的范圍 例2 2017 山西忻州質(zhì)檢 設(shè)二次函數(shù)f x ax2 bx c 函數(shù)F x f x x的兩個零點(diǎn)為m n m0的解集 解 1 由題意知 F x f x x a x m x n 當(dāng)m 1 n 2時 不等式F x 0 即a x 1 x 2 0 當(dāng)a 0時 不等式F x 0的解集為 x x2 當(dāng)a0的解集為 x 1 x 2 易混易錯辨析用心練就一雙慧眼 忽視對參數(shù)的討論致誤 典例 對于任意實(shí)數(shù)x 不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 易錯分析 1 解決本題易忽視二次項(xiàng)系數(shù)等于零的情況 2 對含參數(shù)的不等式問題 易因分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇不準(zhǔn)而致誤 對含參的一元二次不等式在進(jìn)行解題時一般有三個分類標(biāo)準(zhǔn) 一是對二次項(xiàng)系數(shù)分等于0和不等于0進(jìn)行分類 二是對判別式 0 0時 對兩根的大小比較進(jìn)行分類