第2節(jié)證明不等式的基本方法 考綱展示 知識梳理自測 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 解題規(guī)范夯實(shí) 知識梳理自測把散落的知識連起來 1 比較法 知識梳理 2 綜合法與分析法 1 綜合法 從出發(fā) 利用定義 公理 定理 性質(zhì)等 經(jīng)過一系列的 論證而得出命題成立 2 分析法 從出發(fā) 逐步尋求使它成立的條件 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí) 定義 公理或已證明的定理 性質(zhì)等 從而得出要證的命題成立 已知條件 推理 要證的結(jié)論 充分 3 反證法與放縮法 1 反證法證明命題時先假設(shè)要證的命題 以此為出發(fā)點(diǎn) 結(jié)合 應(yīng)用公理 定義 定理 性質(zhì)等 進(jìn)行正確的推理 得到和命題的條件 或已證明的定理 性質(zhì) 明顯成立的事實(shí)等 的結(jié)論 以說明假設(shè)不正確 從而得出原命題成立 我們把這種證明方法稱為反證法 2 放縮法證明不等式時 通過把不等式中的某些部分的值或 簡化不等式 從而達(dá)到證明的目的 我們把這種方法稱為放縮法 不成立 已知條件 矛盾 放大 縮小 4 三個正數(shù)的算術(shù) 幾何平均不等式 1 定理 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 雙基自測 B 解析 根據(jù)條件和分析法的定義可知選項(xiàng)B最合理 故選B 2 已知a b c 0 ab bc ac 0 abc 0 用反證法求證a 0 b 0 c 0時的反設(shè)為 A a0 c 0 C a b c不全是正數(shù) D abc 0 解析 反證法提出假設(shè)時 是否定 a 0 b 0 c 0 應(yīng)為a b c不全是正數(shù) 故選C C 答案 9 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識 考點(diǎn)一 比較法證明不等式 反思?xì)w納比較法證明不等式的方法與步驟 1 作差比較法 作差 變形 判號 下結(jié)論 2 作商比較法 作商 變形 判斷 下結(jié)論 提醒 1 當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式 分式或?qū)?shù)式時 一般使用作差比較法 2 當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時 一般使用作商比較法 考點(diǎn)二 用綜合法 分析法證明不等式 反思?xì)w納 2 用分析法證明不等式時 不要把 逆求 錯誤地作為 逆推 分析的過程是尋求結(jié)論成立的充分條件 而不一定是充要條件 同時要正確使用 要證 只需證 這樣的連接 關(guān)鍵詞 3 分析法與綜合法常常結(jié)合起來使用 稱為分析綜合法 其實(shí)質(zhì)是既充分利用已知條件 又時刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo) 即不僅要搞清已知什么 還要明確干什么 通常用分析法找到解題思路 用綜合法書寫證題過程 考點(diǎn)三 用反證法證明不等式 證明 假設(shè)a1 a2 a3 a4均不大于25 即a1 25 a2 25 a3 25 a4 25 則a1 a2 a3 a4 100 這與已知a1 a3 a3 a4 100矛盾 故假設(shè)錯誤 所以a1 a2 a3 a4中至少有一個數(shù)大于25 例3 2017 銀川月考 已知a1 a2 a3 a4 100 求證 a1 a2 a3 a4中至少有一個數(shù)大于25 反思?xì)w納對于某些問題中所證結(jié)論若是 都是 都不是 至多 至少 等問題 一般用反證法 其一般步驟是反設(shè) 推理 得出矛盾 肯定原結(jié)論 考點(diǎn)四 放縮法證明不等式 反思?xì)w納放縮法的關(guān)鍵是控制放縮的幅度 幅度過大或過小都會與所證不等式有差異 備選例題 解題規(guī)范夯實(shí)把典型問題的解決程序化 教師備用 利用綜合法證明不等式 典例 10分 2017 全國 卷 已知a 0 b 0 a3 b3 2 證明 1 a b a5 b3 4 滿分展示證明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 1分 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 3分 4 ab a2 b2 2 4分所以 a b a5 b5 4 5分 2 a b 2 答題模板第一步 展開不等式的左邊并適當(dāng)整理 第二步 利用已知條件將展開結(jié)果進(jìn)行配方 第三步 利用兩數(shù)和的立方公式展開整理 第四步 利用ab 2進(jìn)行放縮 第五步 解不等式獲得待證結(jié)論