第5節(jié)古典概型與幾何概型 考綱展示 知識(shí)梳理自測(cè) 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)梳理自測(cè)把散落的知識(shí)連起來(lái) 1 古典概型的特點(diǎn)是什么 提示 基本事件個(gè)數(shù)有限 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 2 幾何概型的特點(diǎn)是什么 提示 基本事件個(gè)數(shù)無(wú)限 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 教材導(dǎo)讀 知識(shí)梳理 1 古典概型 1 古典概型的特征 有限性 在一次試驗(yàn)中 可能出現(xiàn)的結(jié)果是的 即只有有限個(gè)不同的基本事件 等可能性 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是的 2 古典概型的概率計(jì)算的基本步驟 判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的 設(shè)出所求的事件為A 分別計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m 利用古典概型的概率公式P A 求出事件A的概率 有限 相等 2 幾何概型 1 概念 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度 或面積或體積 成 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡(jiǎn)稱為幾何概型 2 幾何概型的基本特點(diǎn) 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果 基本事件 有多個(gè) 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 3 計(jì)算公式 P A 比例 無(wú)限 相等 雙基自測(cè) 1 設(shè)x y N 0 y 9 則log2x N的概率為 B 2 2017 福建寧德第三次質(zhì)檢 已知M是圓周上的一個(gè)定點(diǎn) 若在圓周上任取一點(diǎn)N 連接MN 則弦MN的長(zhǎng)不小于圓半徑的概率是 D 3 已知一只螞蟻在圓 x2 y2 1的內(nèi)部任意隨機(jī)爬行 若不考慮螞蟻的大小 則某時(shí)刻該螞蟻爬行在區(qū)域 x y 1內(nèi)的概率是 A 4 2017 四川成都七中6月高考熱身 有一個(gè)正方體的玩具 六個(gè)面分別標(biāo)注了數(shù)字1 2 3 4 5 6 甲乙兩位學(xué)生進(jìn)行如下游戲 甲先拋擲一次 記下正方體朝上的數(shù)字為a 再由乙拋擲一次 朝上數(shù)字為b 若 a b 1就稱甲 乙兩人 默契配合 則甲 乙兩人 默契配合 的概率為 D 5 2017 湖北武漢四月調(diào)研 在長(zhǎng)為16cm的線段MN上任取一點(diǎn)P 以MP NP為鄰邊作一矩形 則該矩形的面積大于60cm2的概率為 A 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一 古典概型 例1 1 2017 山東卷 從分別標(biāo)有1 2 9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次 每次抽取1張 則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 2 導(dǎo)學(xué)號(hào)38486209 2017 福建泉州考前適應(yīng)性模擬 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子 其4個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1 2 3 4 記每次拋擲朝下一面的數(shù)字中較大者為a 若兩數(shù)相等 則取該數(shù) 平均數(shù)為b 則事件 a b 1 發(fā)生的概率為 3 2017 陜西西安鐵一中模擬 如果一個(gè)a位十進(jìn)制數(shù)a1a2a3 an的數(shù)位上的數(shù)字滿足 小大小大 小大 的順序 即滿足 a1a3a5 a6 我們稱這種數(shù)為 波浪數(shù) 從1 2 3 4 5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中任取一個(gè)五位數(shù)abcde 這個(gè)數(shù)為 波浪數(shù) 的概率是 反思?xì)w納解古典概型題的關(guān)鍵是求出基本事件的總數(shù) 以及隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù) 解題中要注意分類(lèi) 分步 全面考慮各種可能 必要時(shí)利用對(duì)立事件概率之間的關(guān)系從反面求解 跟蹤訓(xùn)練1 1 2017 重慶八中適應(yīng)性月考 田忌與齊王賽馬 田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬 劣于齊王的上等馬 田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬 劣于齊王的中等馬 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬 現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽 則齊王的馬獲勝的概率為 2 2017 山西孝義考前熱身 某公司準(zhǔn)備招聘一批員工 有20人經(jīng)過(guò)初試 其中有5人是與公司所需專業(yè)不對(duì)口 其余都是對(duì)口專業(yè) 在不知道面試者專業(yè)情況下 現(xiàn)依次選取2人進(jìn)行第二次面試 則選取的第二人與公司所需專業(yè)不對(duì)口的概率是 考點(diǎn)二 幾何概型 例2 1 如圖 正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖 正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱 在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) 則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 答案 1 B 2 2017 江蘇卷 記函數(shù)f x 的定義域?yàn)镈 在區(qū)間 4 5 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x 則x D的概率是 反思?xì)w納幾何概型一般就是直線上的 平面上的和空間中的 直線上的幾何概型的概率表現(xiàn)為線段的長(zhǎng)度之比 平面上的就是區(qū)域面積的比 空間中的就是體積之比等 解答幾何概型試題要善于根據(jù)這些特點(diǎn)尋找基本事件所在線 面 體 尋找隨機(jī)事件所在的線 面 體 把幾何概型的計(jì)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長(zhǎng)度 面積和體積的比值的計(jì)算 正確確定基本事件占有的空間位置和隨機(jī)事件在這個(gè)位置中的情況 然后計(jì)算相關(guān)的量 再根據(jù)幾何概型的公式計(jì)算概率 跟蹤訓(xùn)練2 1 2017 陜西渭南二模 已知函數(shù)f x log2x x 1 8 則不等式1 f x 2成立的概率是 2 導(dǎo)學(xué)號(hào)38486210一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示 M是AB的中點(diǎn) 一只蜻蜓在幾何體ADF BCE內(nèi)自由飛翔 則它飛入幾何體F AMCD內(nèi)的概率為 考點(diǎn)三 古典概型與幾何概型的綜合 例3 導(dǎo)學(xué)號(hào)18702580某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng) 活動(dòng)規(guī)則如下 消費(fèi)每滿100元可以轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的圓盤(pán)一次 其中O為圓心 且標(biāo)有20元 10元 0元的三部分區(qū)域面積相等 假定指針停在任一位置都是等可能的 當(dāng)指針停在某區(qū)域時(shí) 返相應(yīng)金額的優(yōu)惠券 例如 某顧客消費(fèi)了218元 第一次轉(zhuǎn)動(dòng)獲得了20元 第二次獲得了10元 則其共獲得了30元優(yōu)惠券 顧客甲和乙都到商場(chǎng)進(jìn)行了消費(fèi) 并按照規(guī)則參與了活動(dòng) 1 若顧客甲消費(fèi)了128元 求他獲得優(yōu)惠券金額大于0元的概率 2 若顧客乙消費(fèi)了280元 求他總共獲得優(yōu)惠券金額不低于20元的概率 反思?xì)w納區(qū)分問(wèn)題是幾何概型還是古典概型是解題的關(guān)鍵 其共同的特征是基本事件發(fā)生的可能性相同 不同點(diǎn)是 幾何概型中基本事件個(gè)數(shù)是無(wú)限的 古典概型中基本事件個(gè)數(shù)是有限的 跟蹤訓(xùn)練3 導(dǎo)學(xué)號(hào)18702581某市中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)總分獲得冠 亞 季軍的代表隊(duì)人數(shù)情況如下表 大會(huì)組委會(huì)為使頒獎(jiǎng)儀式有序進(jìn)行 氣氛活躍 在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng) 并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取16人在前排就坐 其中亞軍隊(duì)有5人 1 求季軍隊(duì)的男運(yùn)動(dòng)員人數(shù) 2 從前排就坐的亞軍隊(duì)5人 3男2女 中隨機(jī)抽取2人上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng) 請(qǐng)求出有女生上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)的概率 3 抽獎(jiǎng)活動(dòng)中 運(yùn)動(dòng)員通過(guò)操作按鍵 使電腦自動(dòng)產(chǎn)生 0 4 內(nèi)的兩個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)x y 隨后電腦自動(dòng)運(yùn)行如圖所示的程序框圖的相應(yīng)程序 若電腦顯示 中獎(jiǎng) 則運(yùn)動(dòng)員獲相應(yīng)獎(jiǎng)品 若電腦顯示 謝謝 則不中獎(jiǎng) 求運(yùn)動(dòng)員獲得獎(jiǎng)品的概率 備選例題 例1 2017 福建泉州3月質(zhì)檢 某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效 對(duì)全校3000名學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試 根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定 優(yōu)秀 良好 及格 不及格 四個(gè)等級(jí) 現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷 統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示 1 求a b c的值 2 試估計(jì)該校安全意識(shí)測(cè)試評(píng)定為 優(yōu)秀 的學(xué)生人數(shù) 3 已知已采用分層抽樣的方法 從評(píng)定等級(jí)為 優(yōu)秀 和 良好 的學(xué)生中任選6人進(jìn)行強(qiáng)化培訓(xùn) 現(xiàn)再?gòu)倪@6人中任選2人參加市級(jí)校園安全知識(shí)競(jìng)賽 求選取的2人中有1人為 優(yōu)秀 的概率 例2 甲 乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面 并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘 過(guò)時(shí)即可離去 求兩人能會(huì)面的概率 解題規(guī)范夯實(shí)把典型問(wèn)題的解決程序化 古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合 典例 12分 2016 江西省八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 2015年 雙節(jié) 期間 高速公路車(chē)輛較多 某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查 將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速 km h 分成六段 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90 后得到如圖的頻率分布直方圖 審題指導(dǎo) 1 求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值 2 若從車(chē)速在 60 70 的車(chē)輛中任意抽取2輛 求車(chē)速在 65 70 的車(chē)輛恰有一輛的概率 滿分展示解 1 眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn) 即眾數(shù)的估計(jì)值等于77 5 2分設(shè)中位數(shù)為x 則中位數(shù)的估計(jì)值為0 01 5 0 02 5 0 04 5 0 06 x 75 0 5 解得x 77 5 即中位數(shù)的估計(jì)值為77 5 5分 2 從題圖中可知 車(chē)速在 60 65 的車(chē)輛數(shù)為m1 0 01 5 40 2 輛 6分車(chē)速在 65 70 的車(chē)輛數(shù)為m2 0 02 5 40 4 輛 7分車(chē)速在 60 65 的車(chē)輛設(shè)為a b 車(chē)速在 65 70 的車(chē)輛設(shè)為c d e f 則所有基本事件有 a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15種 10分 其中車(chē)速在 65 70 的車(chē)輛恰有一輛的事件有 a c a d a e a f b c b d b e b f 共8種 11分所以 車(chē)速在 65 70 的車(chē)輛恰有一輛的概率為P 12分 答題模板第一步 據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù) 第二步 估計(jì)中位數(shù) 即求 中線 第三步 求在區(qū)間 60 65 和 65 70 的車(chē)輛數(shù) 第四步 求基本事件的個(gè)數(shù) 隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù) 第五步 按照古典概型公式求出概率