第2講三角恒等變換與解三角形 高考定位1 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn) 其中關(guān)鍵是利用兩角和與差 二倍角的正弦 余弦 正切公式等進(jìn)行恒等變換 角 的變換是三角恒等變換的核心 2 正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容 主要考查邊 角 面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題 答案A 真題感悟 3 2018 全國(guó) 卷 在平面四邊形ABCD中 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 在 BCD中 由余弦定理得 所以BC 5 1 三角函數(shù)公式 考點(diǎn)整合 2 正弦定理 余弦定理 三角形面積公式 探究提高1 三角恒等變換的基本思路 找差異 化同角 名 化簡(jiǎn)求值 2 解決條件求值問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) 1 分析已知角和未知角之間的關(guān)系 正確地用已知角來(lái)表示未知角 2 正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示 3 求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí) 要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值 然后結(jié)合角的取值范圍 求出角的大小 所以cos cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 熱點(diǎn)二正弦定理與余弦定理考法1利用正 余 弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算 例2 1 2018 濰坊一模 ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊分別為a b c 已知 a 2c cosB bcosA 0 解 1 由已知及正弦定理得 sinA 2sinC cosB sinBcosA 0 sinAcosB sinBcosA 2sinCcosB 0 sin A B 2sinCcosB 0 又sin A B sinC 且C 0 sinC 0 2 由余弦定理 得9 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 9 則 a c 2 ac 9 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosB a c 2 ac 解由b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac 則9 a2 c2 ac 2ac ac ac 所以ac 9 當(dāng)且僅當(dāng)a c 3時(shí) 取等號(hào) 探究提高1 高考中主要涉及利用正弦 余弦定理求三角形的邊長(zhǎng) 角 面積等基本計(jì)算 或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形 2 關(guān)于解三角形問題 一般要用到三角形的內(nèi)角和定理 正 余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì) 常見的三角變換方法和原則都適用 同時(shí)要注意 三統(tǒng)一 即 統(tǒng)一角 統(tǒng)一函數(shù) 統(tǒng)一結(jié)構(gòu) 這是使問題獲得解決的突破口 上式兩邊平方 整理得17cos2B 32cosB 15 0 由余弦定理及a c 6得b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 1 cosB 所以b 2 考法2應(yīng)用正 余弦定理解決實(shí)際問題 例2 2 2018 衡水質(zhì)檢 某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種 彈射型 氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度 在C處 點(diǎn)C在水平地面下方 O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn) 進(jìn)行該儀器的垂直彈射 水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A B兩地相距100米 BAC 60 其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米 A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為 OAC 15 A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為 HAO 30 則該儀器的垂直彈射高度CH為 解析由題意 設(shè)AC x米 則BC x 40 米 在 ABC內(nèi) 由余弦定理 BC2 BA2 CA2 2BA CA cos BAC 即 x 40 2 x2 10000 100 x 解得x 420 米 在 ACH中 AC 420米 CAH 30 15 45 CHA 90 30 60 答案B 探究提高1 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形 這時(shí)需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有時(shí)需設(shè)出未知量 從幾個(gè)三角形中列出方程 組 解方程 組 得出所要求的解 訓(xùn)練3 如圖 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛 到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30 的方向上 行駛600m后到達(dá)B處 測(cè)得此山頂在西偏北75 的方向上 仰角為30 則此山的高度CD m 解析由題意 在 ABC中 BAC 30 ABC 180 75 105 故 ACB 45 又 0 所以 1 設(shè) ABC中角A B C所對(duì)的邊分別是a b c 探究提高1 破解平面向量與 三角 相交匯題的常用方法是 化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化法 即先活用誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倍角公式 輔助角公式等對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行巧 化簡(jiǎn) 然后把以向量共線 向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為 對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系 再活用正 余弦定理 對(duì)三角形的邊 角進(jìn)行互化 2 這種問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識(shí)將條件 脫去向量外衣 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解 1 對(duì)于三角函數(shù)的求值 需關(guān)注 1 尋求角與角關(guān)系的特殊性 化非特殊角為特殊角 熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式 2 注意切化弦 異角化同角 異名化同名 角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用 3 對(duì)于條件求值問題 要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系 尋找解題的突破口 對(duì)于很難入手的問題 可利用分析法 2 三角形中判斷邊 角關(guān)系的具體方法 1 通過正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換 2 通過余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換 3 通過三角變換找出角之間的關(guān)系 4 通過三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正 余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論 5 若涉及兩個(gè) 或兩個(gè)以上 三角形 這時(shí)需作出這些三角形 先解條件多的三角形 再逐步求出其他三角形的邊和角 其中往往用到三角形內(nèi)角和定理 有時(shí)需設(shè)出未知量 從幾個(gè)三角形中列出方程 組 求解