選修4 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程 熱點(diǎn)題型1極坐標(biāo) 感悟經(jīng)典 典例 1 2017 天津高考 在極坐標(biāo)系中 直線與圓 2sin 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 2 2017 北京高考 在極坐標(biāo)系中 點(diǎn)A在圓 2 2 cos 4 sin 4 0上 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 1 0 則 AP 的最小值為 聯(lián)想解題 1 看到極坐標(biāo)方程 想到利用公式x cos y sin 2 x2 y2把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 2 看到曲線的極坐標(biāo)方程 點(diǎn)的極坐標(biāo) 想到利用公式x cos y sin 2 x2 y2把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 規(guī)范解答 1 直線為2x 2y 1 0 圓為x2 y 1 2 1 因?yàn)閳A心到直線的距離d 1 所以有兩個(gè)交點(diǎn) 答案 2 2 將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程為x2 y2 2x 4y 4 0 整理為 x 1 2 y 2 2 1 圓心C 1 2 點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 1 0 點(diǎn)P是圓外一點(diǎn) 所以的最小值就是 r 2 1 1 答案 1 規(guī)律方法 1 確定極坐標(biāo)方程的五要素極點(diǎn) 極軸 長(zhǎng)度單位 角度單位及其正方向 五者缺一不可 2 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 1 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件 極點(diǎn)與原點(diǎn)重合 極軸與x軸正向重合 取相同的單位長(zhǎng)度 2 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易 只要運(yùn)用公式x cos 及y sin 直接代入并化簡(jiǎn)即可 而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些 解此類問題常通過變形 構(gòu)造形如 cos sin 2的形式 進(jìn)行整體代換 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 2017 全國(guó)卷 在直角坐標(biāo)系xOy中 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C1的極坐標(biāo)方程為 cos 4 1 M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)P在線段OM上 且滿足 OM OP 16 求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程 2 設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 點(diǎn)B在曲線C2上 求 OAB面積的最大值 解析 1 設(shè)P的極坐標(biāo)為 0 為M的極坐標(biāo)為 0 0 0 由題設(shè)知 0 由 16得C2的極坐標(biāo)方程為 4cos 0 因此C2的直角坐標(biāo)方程為 x 2 2 y2 4 x 0 2 設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為 B B 0 由題設(shè)知 OA 2 B 4cos 于是 OAB的面積S OA B sin AOB 4cos 2 2 當(dāng) 時(shí) S取得最大值2 所以 OAB面積的最大值為2 2 2018 安慶一模 在直角坐標(biāo)系xOy中 直線l t為參數(shù) 其中 為直線的傾斜角 與曲線C 為參數(shù) 相交于不同的兩點(diǎn)A B 1 當(dāng) 時(shí) 求直線l與曲線C的普通方程 2 若 MA MB OM 2 其中M 0 求直線l的斜率 解析 1 當(dāng) 時(shí) 直線l的普通方程為y x 曲線C的普通方程為 y2 1 2 把代入 y2 1 得 4sin2 cos2 t2 2cos t 1 0 MA MB t1t2 OM 2 得sin2 所以tan2 所以斜率k 3 2018 棗莊一模 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 1 若a 1 求直線l被曲線C截得的線段的長(zhǎng)度 2 若a 11 在曲線C上求一點(diǎn)M 使得點(diǎn)M到直線的距離最小 并求出最小距離 l l 解析 1 曲線C的普通方程為 1 當(dāng)a 1時(shí) 直線l的普通方程為y 2x 由 解得或 直線l被曲線C截得的線段的長(zhǎng)度為 2 方法一 當(dāng)a 11時(shí) 直線l的普通方程為2x y 10 0 由點(diǎn)到直線的距離公式 橢圓上的點(diǎn)M 3cos 2sin 到直線l 2x y 10 0的距離為d 其中 0滿足cos 0 sin 0 由三角函數(shù)性質(zhì)知 當(dāng) 0 0時(shí) d取最小值2 2 此時(shí) 3cos 3cos 0 2sin 2sin 0 因此 當(dāng)點(diǎn)M位于時(shí) 點(diǎn)M到l的距離取最小值2 2 方法二 當(dāng)a 11時(shí) 直線l的普通方程為2x y 10 0 設(shè)與l平行 且與橢圓 1相切的直線m的方程為2x y n 0 由消去y并整理得40 x2 36nx 9n2 36 0 由判別式 36n 2 4 40 9n2 36 0 解得n 2 所以 直線m的方程為2x y 2 0或2x y 2 0 要使兩平行直線l與m間的距離最小 則直線m的方程為2x y 2 0 這時(shí) l與m間的距離d 2 2 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為方程組的解因此 當(dāng)點(diǎn)M位于時(shí) 點(diǎn)M到直線l的距離取最小值2 2 提分備選 1 2018 九江三模 在極坐標(biāo)系中 點(diǎn)P的極坐標(biāo)是 曲線C的極坐標(biāo)方程為 4cos 以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 斜率為 1的直線經(jīng)過點(diǎn)P 1 寫出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程 2 若直線和曲線C相交于兩點(diǎn)A B 求的值 解析 1 由曲線C的極坐標(biāo)方程 4cos可得 2cos 2sin 即 2 2 cos 2 sin 因此曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2x 2y 0 即 x 1 2 y 2 4 點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 0 直線的傾斜角為135 所以直線的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 2 將 t為參數(shù) 代入 x 1 2 y 2 4 得t2 t 3 0 設(shè)A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 t2 則t1 t2 t1t2 3 根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義有 2 2018 瀘州四模 在直角坐標(biāo)系xOy中 圓C的參數(shù)方程 為參數(shù) 以O(shè)為極點(diǎn) x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求圓C的極坐標(biāo)方程 2 設(shè)直線的極坐標(biāo)方程是2 sin 3 射線x y 0 x 0 與圓C的交點(diǎn)為O P 與直線的交點(diǎn)為Q 求線段PQ的長(zhǎng) 解析 1 因?yàn)橄麉⒌?x 1 2 y2 1 把x cos y sin 代入得 cos 1 2 sin 2 1 所以圓C的極坐標(biāo)方程為 2cos 2 射線x y 0 x 0 的極坐標(biāo)方程是 設(shè)點(diǎn)P 1 1 則有 解得設(shè)點(diǎn)Q 2 2 則有 解得由于 1 2 所以 PQ 1 2 2 所以線段PQ的長(zhǎng)為2 3 已知曲線C1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 曲線C2 2 1 求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程 2 若C1與C2相交于A B兩點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)F 1 0 求的值 解析 1 由 t為參數(shù) 得即x y 0 所以曲線C1的普通方程為y x 1 由 2 得3 2 2sin2 12 3 x2 y2 y2 12即3x2 4y2 12 所以C2的直角坐標(biāo)方程為 2 由題意可設(shè) 與A B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 t2 將C1的參數(shù)方程代入C2的直角坐標(biāo)方程 化簡(jiǎn)整理得 5t2 4t 12 0 所以 所以因?yàn)閠1 t2 0 所以 所以 4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 以O(shè)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 若直線l的極坐標(biāo)方程為 cos 2 0 曲線C的極坐標(biāo)方程為 sin2 cos 將曲線C上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半 縱坐標(biāo)不變 然后再向右平移一個(gè)單位得到曲線C1 1 求曲線C1的直角坐標(biāo)方程 2 已知直線l與曲線C1交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)P 2 0 求 PA PB 的值 解析 1 曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2 x 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2 2 x 1 2 由直線l的極坐標(biāo)方程為 cos 2 0 得 cos sin 2 0 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x y 2 0 又因?yàn)辄c(diǎn)P 2 0 在直線l上 所以直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 代入C1的直角坐標(biāo)方程得t2 2t 4 0 設(shè)A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 t2 則 8 16 0 t1 t2 2 t1t2 4 所以 PA PB t1 t2 t1 t2 熱點(diǎn)題型2參數(shù)方程 感悟經(jīng)典 典例 2017 江蘇高考 在平面坐標(biāo)系xOy中 已知直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 曲線C的參數(shù)方程 為 s為參數(shù) 設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn) 求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值 聯(lián)想解題 看到參數(shù)方程 想到消去參數(shù)化為普通方程 看到求點(diǎn)到直線的距離 想到應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式 規(guī)范解答 直線l的普通方程為x 2y 8 0 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上 設(shè)P 2s2 2s 從而點(diǎn)P到直線l的距離當(dāng)s 時(shí) dmin 所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 4 4 時(shí) 曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值 規(guī)律方法 在求出曲線的參數(shù)方程后 通常利用消參法得出普通方程 一般地 消參數(shù)經(jīng)常采用的是代入法和三角公式法 但將曲線的參數(shù)方程化為普通方程 不只是把其中的參數(shù)消去 還要注意x y的取值范圍在消參前后應(yīng)該是一致的 也就是說(shuō) 要使得參數(shù)方程與普通方程等價(jià) 即它們二者要表示同一曲線 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 1 2017 全國(guó)卷 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 1 若a 1 求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo) 2 若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為 求a 解析 1 a 1時(shí) 直線l的方程為x 4y 3 0 曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2 1 聯(lián)立方程解得 或則C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是 3 0 和 2 直線l的一般式方程是x 4y 4 a 0 設(shè)曲線C上點(diǎn)P 3cos sin 則P到l的距離其中tan 依題意得 dmax 解得a 16或a 8 2 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 將曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍 得到曲線C2 在極坐標(biāo)系 與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位 且以原點(diǎn)O為極點(diǎn) 以x軸非負(fù)半軸為極軸 中 直線l的極坐標(biāo)方程為 cos 2 1 求直線l和曲線C2的直角坐標(biāo)方程 2 設(shè)點(diǎn)Q是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 求它到直線l的距離的最大值 解析 1 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為 cos 2 所以有 cos sin 4 0 即直線l的直角坐標(biāo)方程為 x y 4 0 因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 經(jīng)過變換后得到曲線C2的參數(shù)方程為 為參數(shù) 所以曲線C2化為直角坐標(biāo)方程為 x2 y2 1 2 因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C2上 故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 cos sin 從而點(diǎn)Q到直線l的距離為 可得 當(dāng)cos 1時(shí) d取得最大值 且最大值為2 1 3 在直角坐標(biāo)系xOy中 以原點(diǎn)O為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 曲線C的極坐標(biāo)方程為 sin2 4cos 1 寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程 2 若點(diǎn)M的坐標(biāo)為 2 1 直線l與曲線C交于A B兩點(diǎn) 求 MA MB 的值 解析 1 由 t為參數(shù) 消去參數(shù)t 得直線l的普通方程為x y 1 0 由 sin2 4cos 兩邊同乘 得 2sin2 4 cos 即y2 4x 故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2 4x 2 在 t為參數(shù) 中 令t t 得直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 t 為參數(shù) 代入曲線C y2 4x 整理得 t 2 2t 14 0 設(shè)A B所對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t 1 t 2 則t 1 t 2 2 t 1t 2 14 0 所以 MA MB t 1 t 2 t 1 t 2 提分備選 1 2018 西北師范大學(xué)附中三模 若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn) Ox為極軸 選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系 得曲線C的極坐標(biāo)方程是 1 將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程 并指出曲線是什么曲線 2 若直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 當(dāng)直線l與曲線C相交于A B兩點(diǎn)時(shí) 求 AB 解析 1 因?yàn)?所以 2sin2 6 cos 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2 6x 曲線為以為焦點(diǎn) 開口向右的拋物線 2 直線l的參數(shù)方程可化為 t為參數(shù) 代入y2 6x 得t2 4t 12 0 解得t1 2 t2 6 所以 AB t1 t2 8 2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 將圓O x2 y2 4上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 得到曲線C 1 求曲線C的參數(shù)方程 2 以原點(diǎn)O為極點(diǎn) x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 在兩坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度 射線 0 與圓O和曲線C分別交于點(diǎn)A B 求 AB 的最大值 解析 1 圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 根據(jù)題意 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 2 令 則在極坐標(biāo)系中A 2 則 AB 2 當(dāng) 時(shí) AB 取最大值1