第1講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 高考定位1 抽樣方法 樣本的數(shù)字特征 統(tǒng)計圖表 回歸分析與獨立性檢驗主要以選擇題 填空題形式命題 難度較小 2 注重知識的交匯滲透 統(tǒng)計與概率 回歸分析與概率是近年命題的熱點 2016年 2017年和2018年在解答題中均有考查 1 2018 全國 卷 某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè) 農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍 實現(xiàn)翻番 為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況 統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例 得到如圖所示的餅圖 真題感悟 則下面結(jié)論中不正確的是 A 新農(nóng)村建設(shè)后 種植收入減少B 新農(nóng)村建設(shè)后 其他收入增加了一倍以上C 新農(nóng)村建設(shè)后 養(yǎng)殖收入增加了一倍D 新農(nóng)村建設(shè)后 養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a 則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a 則由餅圖可得新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0 6a 其他收入為0 04a 養(yǎng)殖收入為0 3a 新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0 74a 其他收入為0 1a 養(yǎng)殖收入為0 6a 養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1 16a 所以新農(nóng)村建設(shè)后 種植收入減少是錯誤的 故選A 答案A 2 2018 全國 卷 某公司有大量客戶 且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異 為了解客戶的評價 該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查 可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣 分層抽樣和系統(tǒng)抽樣 則最合適的抽樣方法是 解析因為不同年齡段的客戶對公司的服務(wù)評價有較大差異 所以需按年齡進(jìn)行分層抽樣 才能了解到不同年齡段的客戶對公司服務(wù)的客觀評價 答案分層抽樣 3 2018 全國 卷 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y 單位 億元 的折線圖 1 分別利用這兩個模型 求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值 2 你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠 并說明理由 2 利用模型 得到的預(yù)測值更可靠 理由如下 1 抽樣方法 抽樣方法包括簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 三種抽樣方法都是等概率抽樣 體現(xiàn)了抽樣的公平性 但又各有其特點和適用范圍 考點整合 2 統(tǒng)計中的四個數(shù)據(jù)特征 3 直方圖的兩個結(jié)論 4 回歸分析與獨立性檢驗 熱點一抽樣方法 例1 1 2018 合肥模擬 某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況 采用分層抽樣的方法從高一1000人 高二1200人 高三n人中抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查 已知高二被抽取的人數(shù)為30 那么n A 860B 720C 1020D 1040 2 2018 長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢 在一次馬拉松比賽中 35名運動員的成績 單位 分鐘 的莖葉圖如圖所示 若將運動員按成績由好到差編為1 35號 再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人 則其中成績在區(qū)間 139 151 上的運動員人數(shù)是 2 依題意 可將編號為1 35號的35個數(shù)據(jù)分成7組 每組有5個數(shù)據(jù) 在區(qū)間 139 151 上共有20個數(shù)據(jù) 分在4個小組內(nèi) 每組抽取1人 共抽取4人 答案 1 D 2 4 訓(xùn)練1 1 2018 鄭州模擬 為規(guī)范學(xué)校辦學(xué) 某省教育廳督察組對某所高中進(jìn)行了抽樣調(diào)查 抽到的班級一共有52名學(xué)生 現(xiàn)將該班學(xué)生隨機編號 用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本 已知7號 33號 46號同學(xué)在樣本中 那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是 A 13B 19C 20D 51 2 某工廠生產(chǎn)甲 乙 丙 丁四種不同型號的產(chǎn)品 產(chǎn)量分別為200 400 300 100件 為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量 現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗 則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 件 解析 1 由系統(tǒng)抽樣的原理知 抽樣的間隔為52 4 13 故抽取的樣本的編號分別為7 7 13 7 13 2 7 13 3 即7號 20號 33號 46號 樣本中還有一位同學(xué)的編號為20號 答案 1 C 2 18 熱點二用樣本估計總體考法1數(shù)字特征與莖葉圖的應(yīng)用 例2 1 2018 北京東城區(qū)質(zhì)檢 某班男女生各10名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時間 單位 分鐘 用莖葉圖記錄如下 假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨立的 男生每天鍛煉的時間差別小 女生每天鍛煉的時間差別大 從平均值分析 男生每天鍛煉的時間比女生多 男生平均每天鍛煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天鍛煉時間的標(biāo)準(zhǔn)差 從10個男生中任選一人 平均每天的鍛煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大 其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是 A B C D 解析由莖葉圖知 男生每天鍛煉時間差別小 女生差別大 正確 又根據(jù)莖葉圖 男生鍛煉時間較集中 女生鍛煉時間較分散 s甲 s乙 錯誤 因此符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是 答案C 考法2用樣本的頻率分布估計總體分布 例2 2 2017 北京卷 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評 根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例 使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生 記錄他們的分?jǐn)?shù) 將數(shù)據(jù)分成7組 20 30 30 40 80 90 并整理得到如下頻率分布直方圖 1 從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人 估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率 2 已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人 試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間 40 50 內(nèi)的人數(shù) 3 已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70 且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等 試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例 解 1 根據(jù)頻率分布直方圖可知 樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為 0 02 0 04 10 0 6 所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1 0 6 0 4 所以從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人 其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0 4 2 根據(jù)題意 樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為 0 01 0 02 0 04 0 02 10 0 9 分?jǐn)?shù)在區(qū)間 40 50 內(nèi)的人數(shù)為100 100 0 9 5 5 3 由題意可知 樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為 0 02 0 04 10 100 60 所以樣本中的男生人數(shù)為30 2 60 女生人數(shù)為100 60 40 男生和女生人數(shù)的比例為60 40 3 2 所以根據(jù)分層抽樣原理 總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3 2 探究提高1 平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征 是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述 它們所反映的情況有著重要的實際意義 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢 方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小 2 在本例2 2中 抓住頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1 這是求解的關(guān)鍵 本題易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖 誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率 導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯 答案A 訓(xùn)練2 1 如圖所示的莖葉圖記錄了甲乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù) 單位 件 若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等 且平均值也相等 則x和y的值分別為 A 3 5B 5 5C 3 7D 5 7 2 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家 某市為了制定合理的節(jié)水方案 對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查 通過抽樣 獲得了某年100位居民每人的月均用水量 單位 噸 將數(shù)據(jù)按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9組 制成了如圖所示的頻率分布直方圖 求直方圖中a的值 設(shè)該市有30萬居民 估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù) 說明理由 估計居民月均用水量的中位數(shù) 解 由頻率分布直方圖可知 月均用水量在 0 0 5 內(nèi)的頻率為0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 等組的頻率分別為0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 由1 0 04 0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 0 5 a 0 5 a 解得a 0 30 由 知 該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0 06 0 04 0 02 0 12 由以上樣本的頻率分布 可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000 0 12 36000 設(shè)中位數(shù)為x噸 因為前5組的頻率之和為0 04 0 08 0 15 0 21 0 25 0 73 0 5 又前4組的頻率之和為0 04 0 08 0 15 0 21 0 48 0 5 所以2 x 2 5 由0 50 x 2 0 5 0 48 解得x 2 04 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2 04噸 熱點三回歸分析 例3 2018 成都質(zhì)檢 某省的一個氣象站觀測點在連續(xù)4天里記錄的AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y 單位 cm 的情況如表1 該省某市2017年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2 2 根據(jù)表3可知 該月30天中有3天每天虧損2000元 有6天每天虧損1000元 有12天每天收入2000元 有6天每天收入6000元 有3天每天收入8000元 訓(xùn)練3 2016 全國 卷 如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量 單位 億噸 的折線圖 注 年份代碼1 7分別對應(yīng)年份2008 2014 1 由折線圖看出 可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系 請用相關(guān)系數(shù)加以說明 2 建立y關(guān)于t的回歸方程 系數(shù)精確到0 01 預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量 解 1 由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0 99 說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高 從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1 82億噸 熱點四獨立性檢驗 例4 2018 全國 卷 某工廠為提高生產(chǎn)效率 開展技術(shù)創(chuàng)新活動 提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式 為比較兩種生產(chǎn)方式的效率 選取40名工人 將他們隨機分成兩組 每組20人 第一組工人用第一種生產(chǎn)方式 第二組工人用第二種生產(chǎn)方式 根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間 單位 min 繪制了如圖所示的莖葉圖 1 根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高 并說明理由 2 求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m 并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表 3 根據(jù) 2 中的列聯(lián)表 能否有99 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 2 由莖葉圖數(shù)據(jù)得到m 80 由此填寫列聯(lián)表如下 3 根據(jù) 2 中的列聯(lián)表計算 所以有99 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 訓(xùn)練4 微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件 它支持發(fā)送語音短信 視頻 圖片和文字 一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國 甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人 被稱為微商 為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時間 某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性 女性用戶各50名 將男性 女性使用微信的時間分成5組 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 分別加以統(tǒng)計 得到如圖所示的頻率分布直方圖 1 根據(jù)女性頻率分布直方圖估計女性使用微信的平均時間 2 若每天玩微信超過4小時的用戶列為 微信控 否則稱其為 非微信控 請你根據(jù)已知條件完成2 2的列聯(lián)表 并判斷是否有90 的把握認(rèn)為 微信控 與 性別有關(guān) 解 1 女性平均使用微信的時間為 0 16 1 0 24 3 0 28 5 0 2 7 0 12 9 4 76 小時 2 由已知得 2 0 04 a 0 14 2 0 12 1 解得a 0 08 由題設(shè)條件得列聯(lián)表 所以有90 的把握認(rèn)為 微信控 與 性別 有關(guān) 1 用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想 用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布 難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用 2 1 眾數(shù) 中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量 平均數(shù)是最重要的量 與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān) 這是中位數(shù) 眾數(shù)所不具有的性質(zhì) 2 標(biāo)準(zhǔn)差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 標(biāo)準(zhǔn)差 方差越大 數(shù)據(jù)的離散程度就越大 3 莖葉圖 頻率分布表和頻率分布直方圖 4 回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法 只有在散點圖大致呈線性時 求出的線性回歸方程才有實際意義 否則 求出的線性回歸方程毫無意義 根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報 僅是一個預(yù)報值 而不是真實發(fā)生的值