第2講導數(shù)的簡單應用 高考導航 熱點突破 備選例題 閱卷評析 真題體驗 1 2018 全國 卷 文6 設函數(shù)f x x3 a 1 x2 ax 若f x 為奇函數(shù) 則曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為 A y 2x B y x C y 2x D y x D 高考導航演真題 明備考 解析 法一因為f x 為奇函數(shù) 所以f x f x 由此可得a 1 故f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 所以曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為y x 故選D 法二因為f x x3 a 1 x2 ax為奇函數(shù) 所以f x 3x2 2 a 1 x a為偶函數(shù) 所以a 1 即f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲線y f x 在點 0 0 處的切線方程為y x 故選D 2 2016 全國 卷 文9 函數(shù)y 2x2 e x 在 2 2 的圖象大致為 D 解析 因為f x 2x2 e x x 2 2 是偶函數(shù) 又f 2 8 e2 0 1 故排除A B 設g x 2x2 ex 則g x 4x ex 又g 0 0 所以g x 在 0 2 內至少存在一個極值點 所以g x 2x2 e x 在 0 2 內至少存在一個極值點 排除C 故選D 3 2018 全國 卷 文13 曲線y 2lnx在點 1 0 處的切線方程為 答案 y 2x 2 答案 x y 1 0 5 2015 全國 卷 文16 已知曲線y x lnx在點 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 答案 8 6 2017 全國 卷 文21 已知函數(shù)f x lnx ax2 2a 1 x 1 討論f x 的單調性 7 2015 全國 卷 文21 已知函數(shù)f x lnx a 1 x 1 討論f x 的單調性 2 當f x 有最大值 且最大值大于2a 2時 求a的取值范圍 考情分析 1 考查角度 1 考查導數(shù)的幾何意義的應用 包括求曲線的切線方程 根據(jù)切線方程求參數(shù)值等 2 考查導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用 包括利用導數(shù)研究函數(shù)性質判斷函數(shù)圖象 利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值 利用導數(shù)研究不等式與方程等 2 題型及難易度選擇題 填空題 解答題均有 其中導數(shù)幾何意義的應用為中等難度偏下 其他問題均屬于較難的試題 熱點突破剖典例 促遷移 熱點一 導數(shù)的幾何意義 答案 1 C 2 2018 河南南陽一中三模 經(jīng)過原點 0 0 作函數(shù)f x x3 3x2圖象的切線 則切線方程為 答案 2 y 0或9x 4y 0 3 2018 黑龍江省哈爾濱九中二模 設函數(shù)f x x a 2 lnx2 2a 2 其中x 0 a R 存在x0使得f x0 成立 則實數(shù)a的值為 方法技巧 熱點訓練1 1 2018 遼寧省遼南協(xié)作校一模 已知函數(shù)f x 在R上滿足f x 2f 2 x x2 8x 8 則曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程是 A y 2x 3 B y x C y 3x 2 D y 2x 1 解析 1 由f x 2f 2 x x2 8x 8 可得f 2 x 2f x 2 x 2 8 8x 即f 2 x 2f x x2 4x 4 將其代入f x 2f 2 x x2 8x 8 可得f x 4f x 8 8x 2x2 x2 8x 8 即f x x2 故f x 2x 因為f 1 1 所以切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 故選D 答案 1 D 答案 2 D 解析 3 根據(jù)題意 設曲線y aex 2與2x y 6 0的切點的坐標為 m aem 2 其導數(shù)y aex 2 則切線的斜率k aem 2 又由切線方程為2x y 6 0 即y 2x 6 則k aem 2 2 則切線的方程為y aem 2 aem 2 x m 又由aem 2 2 則切線方程為y 2 2 x m 即y 2x 2m 2 則有 2m 2 6 可解得m 2 則切點的坐標為 2 2 則有2 a e 2 2 所以a 2 答案 3 2 3 2018 天津部分區(qū)質量調查二 曲線y aex 2的切線方程為2x y 6 0 則實數(shù)a的值為 熱點二 導數(shù)研究函數(shù)的單調性 考向1確定函數(shù)的單調性 2 討論函數(shù)f x 的單調性 解 2 由于f x xex tx x ex t 當t 0時 ex t 0 當x 0時 f x 0 f x 單調遞增 當x0時 由f x 0得x 0或x lnt 當00時 f x 0 f x 單調遞增 當lnt0 f x 單調遞增 當t 1時 f x 0 f x 單調遞增 當t 1時 lnt 0 當x lnt時 f x 0 f x 單調遞增 當00 f x 單調遞增 綜上 當t 0時 f x 在 0 上是減函數(shù) 在 0 上是增函數(shù) 當01時 f x 在 0 lnt 上是增函數(shù) 在 0 lnt 上是減函數(shù) 方法技巧 確定函數(shù)單調性就是確定函數(shù)導數(shù)為正值 為負值的區(qū)間 基本類型有如下幾種 1 導數(shù)的零點是確定的數(shù)值 只要根據(jù)導數(shù)的零點劃分定義域區(qū)間 確定在各個區(qū)間上的符號即可得出其單調區(qū)間 2 導數(shù)零點能夠求出 但含有字母參數(shù)時 則需要根據(jù)參數(shù)的不同取值劃分定義域區(qū)間 再確定導數(shù)在各個區(qū)間上的符號 3 導數(shù)存在零點 但該零點無法具體求出 此時一般是根據(jù)導數(shù)的性質 函數(shù)零點的存在定理確定導數(shù)零點的大致位置 再據(jù)此零點劃分定義域區(qū)間 確定導數(shù)在各個區(qū)間上的符號 考向2根據(jù)單調性求參數(shù)范圍 例3 1 2018 吉林大學附中四模 已知a 0 函數(shù)f x x2 2ax ex 若f x 在 1 1 上是單調減函數(shù) 則a的取值范圍是 亦即a ex x3 2x 在區(qū)間 0 上恒成立 令h x ex x3 2x 所以h x ex x3 2x ex 3x2 2 ex x3 2x 3x2 2 ex x 1 x2 4x 2 因為x 0 所以x2 4x 2 0 因為ex 0 所以令h x 0 可得x 1 所以函數(shù)h x 在區(qū)間 1 上單調遞增 在區(qū)間 0 1 上單調遞減 所以h x min h 1 e1 1 2 e 所以a e 則a的最大值為 e 故選A 方法技巧 函數(shù)f x 在區(qū)間D上單調遞增 減 等價于在區(qū)間D上f x 0 0 恒成立 函數(shù)f x 在區(qū)間D上不單調 等價于在區(qū)間D上f x 存在變號零點 考向3函數(shù)單調性的簡單應用 例4 1 2018 東北三省三校二模 已知定義域為R的函數(shù)f x 的導函數(shù)為f x 且滿足f x f x 1 則下列正確的是 A f 2018 ef 2017 e 1 B f 2018 ef 2017 e 1 D f 2018 ef 2017 e 1 法二構造特殊函數(shù)f x ex 2 該函數(shù)滿足f x f x 1 而f 2018 ef 2017 e2018 2 e e2017 2 2e 2 結合2e 2 e 1可知f 2018 ef 2017 e 1 排除B選項 結合2e 2f x 1 而f 2018 ef 2017 e2018 100 e e2017 100 100e 100 結合100e 100 e 1可知f 2018 ef 2017 e 1 排除D選項 故選A 3 2018 湖南永州市一模 已知定義在R上的可導函數(shù)f x 的導函數(shù)為f x 若對于任意實數(shù)x有f x f x 0 且f 0 1 則不等式exf x 1的解集為 A 0 B 0 C e D e 解析 3 令g x exf x 故g x ex f x f x 由f x f x 0可得 g x 0 所以函數(shù)g x 在R上單調遞增 又f 0 1 所以g 0 1 所以不等式exf x 1的解集為 0 故選B 方法技巧 2 2018 河北石家莊二模 定義在 0 上的函數(shù)f x 滿足xf x lnx f x 0 其中f x 為f x 的導函數(shù) 若a 1 b 0 則下列各式成立的是 A af a bf b 1 B af a 1 bf b 3 2018 黑龍江哈師大附中三模 若函數(shù)f x 2x sinx cosx acosx在 上單調遞增 則a的取值范圍是 A 1 1 B 1 3 C 3 3 D 3 1 熱點三 導數(shù)研究函數(shù)的極值 最值 考向1導數(shù)研究函數(shù)極值 例5 1 2018 河南中原名校質檢二 已知函數(shù)f x 2f 1 lnx x 則f x 的極大值為 A 2 B 2ln2 2 C e D 2 e 方法技巧 1 可導函數(shù)的極值點是其導數(shù)的變號零點 在零點處 左負右正 的為極小值點 左正右負 的為極大值點 2 根據(jù)極值點的個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題可以轉化為其導數(shù)零點個數(shù)的問題討論 考向2導數(shù)研究函數(shù)最值 方法技巧 1 閉區(qū)間 a b 上圖象連續(xù)的函數(shù)其最值在極值和端點值的比較中找到 2 在區(qū)間D上如果f x 有唯一的極大 小 值點 該點也是函數(shù)的最大 小 值點 備選例題挖內涵 尋思路 例2 1 2018 江西重點中學協(xié)作體二聯(lián) 已知定義在 e 上的函數(shù)f x 滿足f x xlnxf x 0的解集為 A e 2018 B 2018 C e D e e 1 解析 3 令g x exf x ex 則g x ex f x f x ex ex f x f x 1 0 即g x 在R上為增函數(shù) 所以g 3 g 2 即e3f 3 e3 e2f 2 e2 整理得e f 3 1 f 2 1 即a b 故選A 3 2018 陜西咸陽二模 已知定義在R上的函數(shù)f x 的導函數(shù)為f x 且f x f x 1 設a f 2 1 b e f 3 1 則a b的大小關系為 A ab C a b D 無法確定 em x 1 ex ex2 令h x x 1 ex ex2 h x ex x 1 ex 2ex xex 2ex x ex 2e 0 ex 2e x ln2e 當x 0 ln2e 時 h x 0 h x 為增函數(shù) h x 的最小值為h ln2e ln2e 1 eln2e eln22e 2eln2 e ln2 1 2 eln22 e 所以em eln22 e m 1 ln22 所以m的取值范圍是 1 ln22 閱卷評析抓關鍵 練規(guī)范 2 證明 當a 1時 f x e 0 2 證明 當a 1時 f x e x2 x 1 ex 1 e x 6分令g x x2 x 1 ex 1 7分則g x 2x 1 ex 1 9分當x 1時 g x 0 g x 單調遞增 11分所以g x g 1 0 因此f x e 0 12分 答題啟示 1 導數(shù)解答題的基礎是正確求出函數(shù)的導數(shù) 這是解題的起始 一定要細心處理 不要 輸在起跑線上 2 導數(shù)證明不等式基本技巧是構造函數(shù) 利用函數(shù)的單調性 最值得出所證不等式