第3講圓錐曲線的綜合問題 高考導(dǎo)航 熱點(diǎn)突破 備選例題 閱卷評析 真題體驗(yàn) 高考導(dǎo)航演真題 明備考 3 2017 全國 卷 文20 在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線y x2 mx 2與x軸交于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0 1 當(dāng)m變化時(shí) 解答下列問題 1 能否出現(xiàn)AC BC的情況 說明理由 2 證明過A B C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值 考情分析 1 考查角度以直線與圓錐曲線 圓與圓錐曲線為載體 考查圓錐曲線中的判斷與證明 最值與范圍 定點(diǎn)與定值 存在性等問題 2 題型及難易度解答題 難度中高檔 熱點(diǎn)突破剖典例 促遷移 熱點(diǎn)一 直線與圓錐曲線 圓與圓錐曲線的綜合問題 方法技巧 以圓錐曲線的方程 性質(zhì)為背景考查直線 圓方程 直線與圓的位置關(guān)系等問題 關(guān)鍵分析特殊點(diǎn)的位置關(guān)系 如圓的圓心 直徑與圓錐曲線的位置關(guān)系 從而找出它們的數(shù)量關(guān)系求解 熱點(diǎn)二 定點(diǎn)與定值問題 考向1定點(diǎn)問題 2 已知直線l與圓C交于A B兩點(diǎn) 且直線OA與直線OB的斜率之積為 2 求證 直線l恒過定點(diǎn) 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo) 考向2定值問題 2 已知點(diǎn)P 2 t Q 2 t t 0 在橢圓C上 點(diǎn)A B是橢圓C上不同于P Q的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) 且滿足 APQ BPQ 試問 直線AB的斜率是否為定值 請說明理由 方法技巧 1 定點(diǎn)問題的常見解法 根據(jù)題意選擇參數(shù) 建立一個(gè)直線系或曲線系方程 而該定點(diǎn)與參數(shù)無關(guān) 故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組 以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn) 從特殊位置入手 找出定點(diǎn) 再證明該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足題意 與參數(shù)無關(guān) 這種方法叫 特殊值探路法 2 關(guān)于直線系l y kx m過定點(diǎn)問題有以下重要結(jié)論 若m為常數(shù)b 則直線l必過定點(diǎn) 0 b 若m nk n為常數(shù) 則直線l必過定點(diǎn) n 0 若m nk b n b為常數(shù) 則直線必過定點(diǎn) n b 4 定值問題就是證明一個(gè)量與其他變化因素?zé)o關(guān) 解決這類問題以坐標(biāo)運(yùn)算為主 需建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù) 用變化的量表示 通過運(yùn)算求證目標(biāo)的取值與變化的量無關(guān) 熱點(diǎn)訓(xùn)練2 2018 太原市二模 已知以點(diǎn)C 0 1 為圓心的動(dòng)圓C與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A 其弦AB的中點(diǎn)D恰好落在x軸上 1 求點(diǎn)B的軌跡E的方程 2 過直線y 1上一點(diǎn)P作曲線E的兩條切線 切點(diǎn)分別為M N 求證 直線MN過定點(diǎn) 熱點(diǎn)三 探索性問題 考向1位置的探索 2 在橢圓上是否存在一點(diǎn)P 使四邊形OAPB為平行四邊形 若存在 求出 OP 的取值范圍 若不存在 說明理由 考向2參數(shù)值的探索 例5 2018 遼寧省遼南協(xié)作校一模 已知拋物線C y 2x2 直線l y kx 2交C于A B兩點(diǎn) M是AB的中點(diǎn) 過M作x軸的垂線交C于N點(diǎn) 1 證明 拋物線C在N點(diǎn)處的切線與AB平行 2 是否存在實(shí)數(shù)k 使以AB為直徑的圓M經(jīng)過N點(diǎn) 若存在 求出k的值 若不存在 請說明理由 方法技巧 解決存在性 探索性 問題通常采用 肯定順推法 將不確定性問題明朗化 其步驟為假設(shè)滿足條件的元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 用待定系數(shù)法設(shè)出 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 組 若方程 組 有實(shí)數(shù)解 則元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 否則 元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 不存在 2 若直線y kx k 0 與橢圓C交于E F兩點(diǎn) 直線AE AF分別與y軸交于點(diǎn)M N 在x軸上 是否存在點(diǎn)P 使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化 總有 MPN為直角 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 熱點(diǎn)訓(xùn)練5 已知拋物線E x2 2py p 0 上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4 且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5 1 求拋物線E的方程 熱點(diǎn)四 最值 范圍 問題 方法技巧 解圓錐曲線中的最值 范圍 問題的方法 1 代數(shù)法 題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系或不等式關(guān)系 則建立函數(shù) 不等式等模型 利用二次函數(shù)法或基本不等式法 換元法 導(dǎo)數(shù)等方法求解 2 幾何法 題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義 則考慮利用圖形的性質(zhì)求解 備選例題挖內(nèi)涵 尋思路 例1 2018 福州市期末 拋物線C y 2x2 4x a與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn) 其中與y軸的交點(diǎn)為P 1 若點(diǎn)Q x y 1 x 4 在C上 求直線PQ斜率的取值范圍 2 證明 經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓E過定點(diǎn) 例3 2018 廣州市調(diào)研 已知拋物線C y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為F 拋物線C上存在一點(diǎn)E 2 t 到焦點(diǎn)F的距離等于3 1 求拋物線C的方程 2 過點(diǎn)K 1 0 的直線l與拋物線C相交于A B兩點(diǎn) A B兩點(diǎn)在x軸上方 點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D 且FA FB 求 ABD的外接圓的方程 閱卷評析抓關(guān)鍵 練規(guī)范 典例 2018 全國 卷 文20 12分 設(shè)拋物線C y2 2x 點(diǎn)A 2 0 B 2 0 過點(diǎn)A的直線l與C交于M N兩點(diǎn) 1 當(dāng)l與x軸垂直時(shí) 求直線BM的方程 2 證明 ABM ABN 注 第 1 問得分說明 寫出l的方程得1分 求出M的坐標(biāo)得1分 求出BM的方程得2分 第 2 問得分說明 當(dāng)l與x軸垂直時(shí) 證出 ABM ABN 得1分 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí) 設(shè)出l的方程 得1分 直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立 消元并得出x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 含k 得2分 證出BM BN的斜率之和為0得2分 證出 ABM ABN得1分 寫出結(jié)論得1分 答題啟示 1 求交點(diǎn)問題常聯(lián)立方程組求解 2 求與交點(diǎn)有關(guān)的問題常聯(lián)立方程組 設(shè)出交點(diǎn) 消元 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解 3 設(shè)直線方程時(shí) 要分斜率存在和不存在兩種情況 本題易忽略斜率不存在的情況而失分 4 求與交點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí) 要對x1與y1 x2與y2相互轉(zhuǎn)化 含斜率k的式子 本題常因不會轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤而失分 5 分類討論問題要先分后總 本題易忽略結(jié)論而失1分