第二講數(shù)形結(jié)合思想 微題型一利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的零點(diǎn) 方程的根 圖象的交點(diǎn)問題 典例1 1 函數(shù)f x lnx x a有兩個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 1 B 1 C 1 D 1 2 已知函數(shù)若存在2個(gè)零點(diǎn) 則a的取值范圍是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 思路點(diǎn)撥 解析 1 選B 函數(shù)f x lnx x a的零點(diǎn) 即關(guān)于x的方程lnx x a 0的實(shí)根 將方程lnx x a 0化為方程lnx x a 令y1 lnx y2 x a 由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知 直線y2 x a與曲線y1 lnx相切時(shí)有a 1 如圖所示 若關(guān)于x的方程lnx x a 0有兩個(gè)不同的實(shí)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 2 選C 因?yàn)間 x f x x a存在2個(gè)零點(diǎn) 即y f x 與y x a有兩個(gè)交點(diǎn) 圖象如下 要使得y x a與f x 有兩個(gè)交點(diǎn) 則有 a 1即a 1 方法點(diǎn)睛 利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點(diǎn) 1 討論方程的解 或函數(shù)的零點(diǎn) 一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) 使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問題 但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性 全面性 否則會(huì)得到錯(cuò)解 2 正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵 數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則 不要刻意去用數(shù)形結(jié)合 跟蹤訓(xùn)練 1 已知函數(shù)函數(shù)g x 是周期為2的偶函數(shù)且當(dāng)x 0 1 時(shí) g x 2x 1 則函數(shù)y f x g x 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) A 5B 6C 7D 8 解析 選B 在同一坐標(biāo)系中作出y f x 和y g x 的圖象如圖所示 由圖象可知當(dāng)x 0時(shí) 有4個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)x 0時(shí) 有2個(gè)零點(diǎn) 所以一共有6個(gè)零點(diǎn) 微題型二利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式 參數(shù)問題 典例2 1 實(shí)系數(shù)一元二次方程x2 ax 2b 0的一個(gè)根在區(qū)間 0 1 上 另一個(gè)根在區(qū)間 1 2 上 則的取值范圍是 A 1 4 B 1 4 2 若存在實(shí)數(shù)a 對(duì)任意的x 0 m 都有 sinx a cosx a 0恒成立 則實(shí)數(shù)m的最大值為 思路點(diǎn)撥 解析 1 選D 設(shè)f x x2 ax 2b 因?yàn)閤2 ax 2b 0的一個(gè)根在 0 1 內(nèi) 另一個(gè)根在區(qū)間 1 2 內(nèi) 所以可得 作出滿足上述不等式組對(duì)應(yīng)的點(diǎn) a b 所在的平面區(qū)域 得到 ABC及其內(nèi)部 即如圖所示的陰影部分 不含邊界 其中A 3 1 B 2 0 C 1 0 設(shè)點(diǎn)E a b 為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn) 則k 表示點(diǎn)E a b 與點(diǎn)D 1 2 連線的斜率 因?yàn)榻Y(jié)合圖形可知 kAD k kCD 所以的取值范圍是 2 選C 在同一坐標(biāo)系中 作出y sinx和y cosx的圖象 當(dāng)m 時(shí) 要使不等式恒成立 只有a 當(dāng)m 時(shí) 在x 0 m 上 必須要求y sinx和y cosx的圖象不在y a 的同一側(cè) 所以m的最大值是 方法點(diǎn)睛 利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式或求參數(shù)范圍問題的技巧求參數(shù)范圍或解不等式問題時(shí)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象 根據(jù)不等式中量的特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè) 或多個(gè) 函數(shù) 利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上 下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決問題 跟蹤訓(xùn)練 2 若不等式的解集為區(qū)間 a b 且b a 2 則k 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 解析 如圖 分別作出直線y k x 2 與半圓由題意 知直線在半圓的上方 由b a 2 可知b 3 a 1 所以直線y k x 2 過點(diǎn) 1 2 則k 答案 微題型三利用數(shù)形結(jié)合思想解決平面向量中的問題 典例3 1 2017 全國卷 已知 ABC是邊長為2的等邊三角形 P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn) 則的最小值 是 2 2018 泰安一模 已知a b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量 若向量c滿足 a c b c 0 則 c 的最大值是 思路點(diǎn)撥 解析 1 選B 取BC的中點(diǎn)O 以BC為x軸 BC的垂直平分線AO為y軸 O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 如圖所示 則B 1 0 C 1 0 設(shè)P x y 所以 1 x y 1 x y 所以 2x 2y 當(dāng)時(shí) 取得最小值 最小值為 2 因?yàn)?a c b c 0 所以 a c b c 如圖所示 所以O(shè) A C B四點(diǎn)共圓 當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí) c 最大 且最大值為 答案 方法點(diǎn)睛 平面向量的數(shù)形結(jié)合的關(guān)注點(diǎn) 1 在解答平面向量問題時(shí) 根據(jù)題目條件建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系 2 利用平面向量的坐標(biāo) 結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算 數(shù)量積公式等求解 具有很強(qiáng)的操作性 解答過程流暢 解題方法巧妙 跟蹤訓(xùn)練 3 2016 四川高考 已知正三角形ABC的邊長為2 平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P M滿足的最大值是 解析 選B 因?yàn)檎切蜛BC的邊長為2 我們以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 B C D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為B 3 C 3 D 2 0 由設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 cos sin 其中 0 2 而即M是PC的中點(diǎn) 可以寫出M的坐標(biāo)為 微題型四利用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何相關(guān)問題 典例4 1 已知圓C x 3 2 y 4 2 1和兩點(diǎn)A m 0 B m 0 m 0 若圓C上存在點(diǎn)P 使得 APB 90 則m的最大值為 A 7B 6C 5D 4 2 已知拋物線的方程為x2 8y F是其焦點(diǎn) 點(diǎn)A 2 4 在此拋物線上求一點(diǎn)P 使 APF的周長最小 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 思路點(diǎn)撥 解析 1 選B 根據(jù)題意 畫出示意圖 如圖所示 則圓心C的坐標(biāo)為 3 4 半徑r 1 且 AB 2m 因?yàn)?APB 90 連接OP 易知 要求m的最大值 即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離 因?yàn)樗?OP max OC r 6 即m的最大值為6 2 因?yàn)?2 2 8 4 所以點(diǎn)A 2 4 在拋物線x2 8y的內(nèi)部 如圖 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l 過點(diǎn)P作PQ l于點(diǎn)Q 過點(diǎn)A作AB l于點(diǎn)B 連接AQ 由拋物線的定義可知 APF的周長為 PF PA AF PQ PA AF AQ AF AB AF 當(dāng)且僅當(dāng)P B A三點(diǎn)共線時(shí) APF的周長取得最小值 即 AB AF 因?yàn)锳 2 4 所以不妨設(shè) APF的周長最小時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 y0 代入x2 8y 得故使 APF的周長最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為答案 方法點(diǎn)睛 數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的解題策略 1 數(shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)解形 通過方程等代數(shù)方法來研究幾何問題 也就是解析法 解析法與幾何法結(jié)合來解題 會(huì)有更大的功效 2 此類題目的求解要結(jié)合該曲線的定義及幾何性質(zhì) 將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起 觀察圖形特征 轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言 即方程 組 或不等式 組 從而將問題解決 跟蹤訓(xùn)練 4 已知P是直線l 3x 4y 8 0上的動(dòng)點(diǎn) PA PB是圓x2 y2 2x 2y 1 0的兩條切線 A B是切點(diǎn) C是圓心 則四邊形PACB面積的最小值為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) 解析 從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x 4y 8 0向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí) 直角三角形PAC的面積越來越大 從而S四邊形PACB也越來越大 當(dāng)點(diǎn)P從左上 右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng) S四邊形PACB變小 顯然 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置 即 CP垂直于直線l時(shí) S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值 此時(shí)答案 2