專題二數(shù)學(xué)思想方法 概述數(shù)學(xué)思想方法既是思想也是方法 思想 是統(tǒng)領(lǐng)全局的總綱 方法 是可以具體操作的解題方法 思想 與 方法 是密不可分的整體 在高考中主要考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法 1 函數(shù)思想就是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù) 運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題 轉(zhuǎn)化問題 從而使問題得到解決 方程思想就是將所求的量設(shè)成未知數(shù) 根據(jù)題中的等量關(guān)系 列方程 組 通過解方程 組 或?qū)Ψ匠?組 進(jìn)行研究 以求得問題的解決 2 數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想 主要包括以下兩個(gè)方面 1 以形助數(shù) 把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化 生動(dòng)化 能夠變抽象思維為形象思維 揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì) 2 以數(shù)輔形 把直觀圖形數(shù)量化 使形更加精確 3 轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化 進(jìn)而解決問題的一種方法 其應(yīng)用包括以下三個(gè)方面 1 將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題 2 將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題 3 將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題 4 分類討論思想是當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí) 就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類 然后對(duì)每一類分別研究 給出每一類的結(jié)論 最終集合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答 實(shí)質(zhì)上分類討論就是 化整為零 各個(gè)擊破 再集零為整 的數(shù)學(xué)思想 熱點(diǎn)一 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用 例1 已知函數(shù)f x 是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù) 且對(duì)于 x R 均有f x f x 則有 A e2018f 2018 e2018f 0 B e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 D e2018f 2018 f 0 f 2018 e2018f 0 一 函數(shù)與方程思想 思維建模 函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化 把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù) 借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題 常涉及不等式恒成立問題 比較大小問題 一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù) 建立函數(shù)關(guān)系求解 答案 1 B 2 2017 山西三區(qū)八校二模 定義在R上的奇函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù)滿足f x f x 且f x f x 3 1 若f 2015 e 則不等式f x ex的解集為 答案 2 1 熱點(diǎn)二 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 例2 2017 全國 卷 記Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 已知S2 2 S3 6 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 求Sn 并判斷Sn 1 Sn Sn 2是否成等差數(shù)列 思維建模 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和都是以正整數(shù)為自變量的函數(shù) 可用函數(shù)與方程思想處理數(shù)列問題 涉及特殊數(shù)列 等差 等比數(shù)列 已知Sn與an關(guān)系問題 應(yīng)用方程思想列方程 組 求解 涉及最值問題或參數(shù)范圍問題 應(yīng)用函數(shù)思想來解決 熱點(diǎn)三 函數(shù)與方程思想在立體幾何 解析幾何中的應(yīng)用 答案 1 C 思維建模 立體幾何 解析幾何中的求值問題 解析幾何中的位置關(guān)系問題常應(yīng)用方程思想列方程 組 求解 求范圍 最值等問題常選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù) 然后應(yīng)用有關(guān)知識(shí) 求函數(shù)的最值或值域 答案 1 C 答案 2 2 熱點(diǎn)一 利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)零點(diǎn)問題 二 數(shù)形結(jié)合思想 思維建模 解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 解函數(shù)零點(diǎn)和問題 常應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想利用圖象的對(duì)稱性求解 解析 1 函數(shù)y f x a x 恰有4個(gè)零點(diǎn) 須y1 f x 與y2 a x 的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn) 如圖所示 由圖可知 當(dāng)y2 ax x 0 與y1 x2 5x 4 4 x 1 相切時(shí) 方程x2 5 a x 4 0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 則 5 a 2 16 0 且a 5 0 解得a 1 a 9舍去 所以當(dāng)x 0時(shí) y1 x2 5x 4與y2 ax的圖象有3個(gè)交點(diǎn) 顯然當(dāng)1 a 2時(shí) 兩函數(shù)的圖象恰有4個(gè)不同交點(diǎn) 即函數(shù)y f x a x 恰有4個(gè)零點(diǎn) 故選B 2 2018 石家莊市質(zhì)檢 已知M是函數(shù)f x 2x 3 8sin x x R 的所有零點(diǎn)之和 則M的值為 A 3 B 6 C 9 D 12 熱點(diǎn)二 利用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題 例5 已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2 ax 2b 0有兩個(gè)根x1 x2 x1 0 1 x2 1 2 求 1 點(diǎn) a b 對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積 2 的取值范圍 3 a 1 2 b 2 2的值域 解 3 a 1 2 b 2 2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) a b 與定點(diǎn)D 1 2 之間距離的平方因?yàn)?AD 2 17 CD 2 8 所以8 a 1 2 b 2 2 17 所以 a 1 2 b 2 2的值域?yàn)?8 17 思維建模 在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)最值問題 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想 畫出可行域 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解 最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得 因此對(duì)于可行域?yàn)榉忾]型的線性規(guī)劃問題 可以直接解出可行域的所有頂點(diǎn)坐標(biāo) 然后將坐標(biāo)分別代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的值 從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值 熱點(diǎn)三 利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式 參數(shù)問題 例6 1 2018 石家莊市質(zhì)檢 已知f x 為奇函數(shù) 且當(dāng)x 0時(shí) f x 單調(diào)遞增 f 1 0 若f x 1 0 則x的取值范圍為 A x 02 B x x2 C x x3 D x x1 解析 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x 為奇函數(shù) 所以f 1 f 1 0 又函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 所以可作出函數(shù)f x 的示意圖 如圖 則不等式f x 1 0可轉(zhuǎn)化為 11 解得02 故選A 思維建模 利用函數(shù)的圖象解決不等式問題 通常根據(jù)不等式中量的特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè) 或多個(gè) 函數(shù) 若函數(shù)為不熟悉的形式 需要做適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù) 然后在同一坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象 利用圖象的位置 找到數(shù)量關(guān)系 從而解決不等式的問題 答案 1 D 答案 2 5 熱點(diǎn)一 特殊與一般的轉(zhuǎn)化 三 化歸與轉(zhuǎn)化思想 思維建模 化一般為特殊的應(yīng)用把一般問題特殊化 解答選擇題 填空題常能起到事半功倍的效果 既準(zhǔn)確又迅速 要注意恰當(dāng)利用所學(xué)知識(shí) 恰當(dāng)選擇特殊量 熱點(diǎn)訓(xùn)練6 1 2017 甘肅蘭州一診 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a3 a5 a7 24 則S9等于 A 36 B 72 C 144 D 288 熱點(diǎn)二 函數(shù) 方程 不等式之間的轉(zhuǎn)化 思維建模 函數(shù) 方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用函數(shù) 方程與不等式就像 一胞三兄弟 解決方程 不等式的問題需要函數(shù)幫助 解決函數(shù)的問題需要方程 不等式的幫助 因此借助于函數(shù) 方程 不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡(jiǎn) 一般可將不等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為最值 值域 問題 從而求出參變量的范圍 答案 1 B 答案 2 2 熱點(diǎn)三 正難則反的轉(zhuǎn)化 解析 1 g x 3x2 m 4 x 2 若g x 在區(qū)間 t 3 上總為單調(diào)函數(shù) g x 0在 t 3 上恒成立 思維建模 若問題直接求解困難時(shí) 可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問題 熱點(diǎn)一 由數(shù)學(xué)概念 性質(zhì) 運(yùn)算引起的分類討論 四 分類討論思想 解析 1 當(dāng)2 a 2 即a 0時(shí) 22 a 2 1 1 解得a 1 則f a f 1 log2 3 1 2 答案 1 A 2 2017 安徽阜陽二模 等比數(shù)列 an 中 a1 a4 a7 2 a3 a6 a9 18 則 an 的前9項(xiàng)和S9 解析 2 由題意得q2 9 q 3 當(dāng)q 3時(shí) a2 a5 a8 3 a1 a4 a7 6 S9 2 6 18 26 當(dāng)q 3時(shí) a2 a5 a8 3 a1 a4 a7 6 S9 2 6 18 14 所以S9 14或26 答案 2 14或26 思維建模 數(shù)學(xué)概念運(yùn)算公式中常見的分類 1 由二次函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 直線的傾斜角 向量的夾角的范圍等引起分類討論 2 由除法運(yùn)算中除數(shù)不為零 不等式兩邊同乘以 或除以 同一個(gè)數(shù) 或式 時(shí)的不等號(hào)等引起分類討論 3 由數(shù)學(xué)公式 定理 性質(zhì)成立的條件等引起分類討論 解析 1 當(dāng) 7 x 0時(shí) f x x 1 0 6 當(dāng)e 2 x e時(shí) f x lnx單調(diào)遞增 得f x 2 1 綜上 f x 2 6 若存在實(shí)數(shù)m 使f m 2g a 0 則有 2 2g a 6 即 1 a2 2a 3 1 a 3 故選C 答案 1 C 答案 2 16或4 2 在等比數(shù)列 an 中 已知a3 4 S3 12 則a1 解析 2 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 當(dāng)q 1時(shí) an a1 此時(shí)S3 3a1 3a3 12 符合題意 熱點(diǎn)二 由圖形位置或形狀引起的分類討論 思維建模 圖形位置或形狀的變化中常見的分類圓錐曲線形狀不確定時(shí) 常按橢圓 雙曲線來分類討論 求圓錐曲線的方程時(shí) 常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論 相關(guān)計(jì)算中 涉及圖形問題時(shí) 也常按圖形的位置不同 大小差異等來分類討論 熱點(diǎn)三 由變量或參數(shù)引起的分類討論 例12 2018 南昌市摸底 設(shè)函數(shù)f x 2lnx mx2 1 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 2 當(dāng)f x 有極值時(shí) 若存在x0 使得f x0 m 1成立 求實(shí)數(shù)m的取值范圍 思維建模 解含參數(shù)不等式 方程 函數(shù)問題及含參數(shù)方程中曲線類型的判定問題 常按參數(shù)的取值不同分類討論