第1課時坐標系與參數(shù)方程 熱點考向一極坐標方程及其應(yīng)用考向剖析 本考向考查形式為解答題 主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化 極坐標方程的應(yīng)用 考查抽象概括能力和運算求解能力 為中檔題 分值為10分 2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn) 主要考查求極坐標方程及其應(yīng)用 特別是與極徑幾何意義有關(guān)的問題 典例1 在直角坐標系xOy中 以坐標原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 曲線C1 cos 3 曲線C2 4cos 1 求C1與C2交點的極坐標 2 設(shè)點Q在C2上 求動點P的極坐標方程 審題導(dǎo)引 1 看到求C1與C2交點的極坐標 聯(lián)想到解 2 看到聯(lián)想到 相等 方程組 對應(yīng)坐標 解析 1 聯(lián)立因為0 所以所求交點的極坐標為 2 設(shè)P Q 0 0 且 0 4cos 0 0 由已知所以 4cos 點P的極坐標方程為 10cos 名師點睛 1 極徑的幾何意義及其應(yīng)用 1 幾何意義 極徑 表示極坐標平面內(nèi)點M到極點O的距離 2 應(yīng)用 一般應(yīng)用于過極點的直線與曲線相交 所得的弦長問題 需要用極徑表示出弦長 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題 2 極坐標化直角坐標的常用技巧 1 通常要用 去乘方程的兩邊 使之出現(xiàn) 2 cos sin 的形式 2 含關(guān)于tan 的方程用公式tan 提醒 1 根據(jù)題目的需要可規(guī)定 R 此時 與 關(guān)于極點對稱 2 極坐標方程與直角坐標方程互化時 要注意變形的等價性 考向精煉 在直角坐標系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線C2的方程為y x 以O(shè)為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 1 求曲線C1和直線C2的極坐標方程 2 若直線C2與曲線C1交于A B兩點 求 解析 1 曲線C1的普通方程為 x 2 2 y 2 2 1 則C1的極坐標方程為 2 4 cos 4 sin 7 0 由于直線C2過原點 且傾斜角為 故其極坐標為 R 或tan 2 由得 2 2 2 7 0 故 1 2 2 2 1 2 7 所以 易錯警示 解答本題容易忽視以下兩點 1 根據(jù)圖象直觀判斷直線C2的方程 極坐標方程是 2 忽視極徑的幾何意義 1 OA 2 OB 加練備選 1 2018 吉林梅河口五中一模 已知圓O x2 y2 4 將圓O上每一點的橫坐標保持不變 縱坐標變?yōu)樵瓉淼?得到曲線C 1 寫出曲線C的參數(shù)方程 2 設(shè)直線l x 2y 2 0與曲線C相交于A B兩點 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 直線m過線段AB的中點 且傾斜角是直線l的傾斜角的2倍 求直線m的極坐標方程 解析 1 設(shè)曲線C上任意一點P x y 則點Q x 2y 在圓O上 所以x2 2y 2 4 即 y2 1 所以曲線C的參數(shù)方程是 為參數(shù) 2 解得 A 2 0 B 0 1 所以線段AB的中點N的坐標為設(shè)直線l的傾斜角為 則tan 所以直線m的方程為y x 1 即8x 6y 11 0 所以直線m的極坐標方程為8 cos 6 sin 11 0 2 2018 合肥三模 在平面直角坐標系xOy中 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 圓C的方程為 x 2 2 y 1 2 5 以原點O為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 1 求直線l及圓C的極坐標方程 2 若直線l與圓C交于A B兩點 求cos AOB的值 解析 1 由直線l的參數(shù)方程得 其普通方程為y x 2 所以直線l的極坐標方程為 sin cos 2 又因為圓C的方程為 x 2 2 y 1 2 5 將代入并化簡得 4cos 2sin 所以圓C的極坐標方程為 4cos 2sin 2 將直線l sin cos 2 與圓C 4cos 2sin 聯(lián)立 得 4cos 2sin sin cos 2 整理得sin cos 3cos2 所以 或tan 3 不妨記點A對應(yīng)的極角為 點B對應(yīng)的極角為 且tan 3 于是 cos AOB cos 3 在平面直角坐標系xOy中 拋物線C的方程為x2 4y 4 1 以坐標原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標系 求C的極坐標方程 2 直線l的參數(shù)方程是 t為參數(shù) l與C交于A B兩點 AB 8 求l的斜率 解析 1 由x cos y sin 可得拋物線C的極坐標方程 2cos2 4 sin 4 0 2 在 1 中建立的極坐標系中 直線l的極坐標方程為 R 設(shè)A B所對應(yīng)的極徑分別為 1 2 將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得 2cos2 4 sin 4 0 因為cos2 0 否則 直線l與拋物線C沒有兩個公共點 于是 1 2 1 2 AB 1 2 由 AB 8得cos2 tan 1 所以l的斜率為1或 1 4 以平面直角坐標系的原點為極點 x軸的正半軸為極軸 建立極坐標系 兩種坐標系中取相同的單位 已知圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線l的極坐標方程為 點P在l上 1 過P向圓C作切線 切點為F 求 PF 的最小值 2 射線OP交圓C于R 點Q在OP上 且滿足 OP 2 OQ OR 求Q點軌跡的極坐標方程 解析 1 圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 可得圓C的普通方程為x2 y2 4 直線l的極坐標方程為 即有 sin cos 4 即直線l的直角坐標方程為x y 4 0 由 PO 2 PF 2 OF 2 由P到圓心O 0 0 的距離d最小時 PF 取得最小值 由點到直線的距離公式可得dmin 可得 PF 最小值為 2 設(shè)P Q R的極坐標分別為 1 2 由 1 2 2 又 OP 2 OQ OR 可得 2 即有 即Q點軌跡的極坐標方程為 熱點考向二參數(shù)方程及其應(yīng)用考向剖析 本考向考查形式為解答題 主要考查直線 圓 橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用 考查抽象概括能力和運算求解能力 為中檔題 分值為10分 2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn) 主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化 直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用 典例2 2018 全國卷 在平面直角坐標系xOy中 O的參數(shù)方程為 為參數(shù) 過點且傾斜角為 的直線l與 O交于A B兩點 1 求 的取值范圍 2 求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程 審題導(dǎo)引 1 看到求 的取值范圍 聯(lián)想到根據(jù)l與 O相交求 的取值范圍 2 看到求線段AB中點P的軌跡的參數(shù)方程 聯(lián)想到點P對應(yīng)的 代入直線l的 方程 斜率 參數(shù) 參數(shù) 解析 1 O的直角坐標方程為x2 y2 1 當(dāng) 時 l與 O交于兩點 當(dāng) 時 記tan k 則l的方程為y kx l與 O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)1 即 或 綜上 的取值范圍是 2 l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 設(shè)A B P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA tB tP 則tP 且tA tB滿足t2 2tsin 1 0 于是tA tB 2sin tP sin 又點P的坐標 x y 滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 為參數(shù) 名師點睛 1 參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法 1 代入消參法 將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù) 直線的參數(shù)方程通常用代入消參法 2 三角恒等式法 利用sin2 cos2 1消去參數(shù) 圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法 3 常見消參數(shù)的關(guān)系式 2 關(guān)于直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義及應(yīng)用 1 幾何意義 參數(shù)t的絕對值等于直線上動點M到定點M0的距離 若t 0 則的方向向上 若t 0 則的方向向下 若t 0 則點M與M0重合 2 應(yīng)用 一般應(yīng)用于過定點的直線與圓錐曲線交于A B兩點 與弦長 AB 及其相關(guān)的問題 解決的方法是首先用t表示出弦長 再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程 函數(shù)式等解決問題 考向精煉 在平面直角坐標系xOy中 曲線C1過點P a 1 其參數(shù)方程為 t為參數(shù) a R 以坐標原點為極點 以x軸正半軸為極軸 建立極坐標系 曲線C2的極坐標方程為 cos2 2cos 0 1 寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程 2 已知曲線C1和曲線C2交于A B兩點 P在A B之間 且 PA 2 PB 求實數(shù)a的值 解析 1 C1的參數(shù)方程消參得普通方程為x y a 1 0 C2的極坐標方程為 cos2 2cos 0 兩邊同乘 得 2cos2 2 cos 2 0 即y2 2x 2 將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2 y2 2x得t2 2t 1 2a 0 設(shè)A B對應(yīng)的參數(shù)為t1 t2 由題意得 t1 2 t2 且P在A B之間 則t1 2t2 由題意得解得a 加練備選 1 2018 湖北八校第二次聯(lián)考 在直角坐標系xOy中 直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù) 0 0 以坐標原點為極點 以x軸的正半軸為極軸 建立極坐標系 圓C的極坐標方程為 1 在直角坐標系xOy中 求圓C的圓心的直角坐標 2 設(shè)點P 1 若直線l與圓C交于A B兩點 求證 PA PB 為定值 并求出該定值 解析 1 圓C x2 y2 4x 4y 0 圓心坐標C 2 2 2 將代入C x2 y2 4x 4y 0 所以t2 2sin 2cos t 12 0 設(shè)點A B所對應(yīng)的參數(shù)為t1 t2 則t1t2 12 所以 PA PB t1t2 12 2 2017 衡水一模 已知直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 1 若直線l與圓C的相交弦長不小于 求實數(shù)m的取值范圍 2 若點A的坐標為 2 0 動點P在圓C上 試求線段PA的中點Q的軌跡方程 解析 1 直線l的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 普通方程為y mx 圓C的參數(shù)方程為 為參數(shù) 普通方程為x2 y 1 2 1 圓心到直線l的距離d 相交弦長 所以所以m 1或m 1 2 設(shè)P cos 1 sin Q x y 則x cos 2 y 1 sin 消去 整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程 x 1 2 3 2017 惠州一模 已知曲線C的極坐標方程是 4cos 以極點為平面直角坐標系的原點 極軸為x軸的正半軸 建立平面直角坐標系 直線l的參數(shù)方程是 t是參數(shù) 1 將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程 2 若直線l與曲線C相交于A B兩點 且 AB 求直線l的傾斜角 的值 解析 1 因為 cos x sin y 2 x2 y2 所以曲線C的極坐標方程 4cos 可化為 2 4 cos 所以x2 y2 4x 所以 x 2 2 y2 4 2 將代入圓的方程 x 2 2 y2 4得 tcos 1 2 tsin 2 4 化簡得t2 2tcos 3 0 設(shè)A B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1 t2 則 所以 AB t1 t2 因為 AB 所以所以cos 因為 0 所以 或 所以直線的傾斜角 或 熱點考向三極坐標與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用高頻考向 類型一極徑和參數(shù)幾何意義的靈活應(yīng)用 典例3 在平面直角坐標系xOy中 曲線C的參數(shù)方程為 為參數(shù) A B在曲線C上 以坐標原點O為極點 x軸的正半軸為極軸的極坐標系中 A B兩點的極坐標為 1 求曲線C的極坐標方程 2 設(shè)曲線C的中心為M 求 MAB的面積 大題小做 解析 1 由消去 得 x 3 2 y 4 2 25 即x2 y2 6x 8y 0 將x cos y sin 代入得曲線C的極坐標方程為 2 6 cos 8 sin 0 即 6cos 8sin 0 2 將代入 1 所得的極坐標方程 得 1 4 3 2 8 所以 AB 曲線C的中心M到弦AB的距離為d 所以S MAB 類型二求最值或取值范圍問題 典例4 2018 信陽二模 已知直線l的參數(shù)方程為 其中t為參數(shù) 曲線C1 2cos2 3 2sin2 3 0 以坐標原點為極點 x軸正半軸為極軸 建立極坐標系 兩種坐標系中取相同長度單位 1 求直線l的普通方程及曲線C1的直角坐標方程 2 在曲線C1上是否存在一點P 使點P到直線l的距離最大 若存在 求出距離的最大值及點P的直角坐標 若不存在 請說明理由 審題導(dǎo)引 1 要求直線l的普通方程需要用加減消去參數(shù)t 要求曲線C1的直角坐標方程需要根據(jù) 進行轉(zhuǎn)化 2 要求點P到直線l的距離最大 需要借助曲線C1的 方程 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題 x cos y sin 參數(shù) 解析 1 直線l的普通方程為x y 1 0 曲線C1的直角坐標方程為 y2 1 2 由 1 可知C1 其中 為參數(shù) 所以點P到直線l的距離d 所以dmax 此時cos 1 即 2k k Z 即 2k k Z 所以xP cos yP sin 即P 故存在這樣的點P 使點P到直線l的距離最大且為 探究追問 1 若將例4直線l的方程改為 曲線C1的方程改為 2cos2 4 2sin2 4 0 其他條件不變 試求點P到直線l的距離的最大值 解析 將曲線C1的極坐標方程 2cos2 4 2sin2 4 0化為普通方程為 y2 1 化為參數(shù)方程為 為參數(shù) 直線l的普通方程為x y 1 0 設(shè)P到直線l的距離為d d 所以P到直線l的距離的最大值為 2 若將例4曲線C1的方程改為 2cos2 3 2sin2 9 0 曲線C2的極坐標方程是 2cos P Q分別是曲線C1和C2上的任意點 求 PQ 的最小值 解析 曲線C1的直角坐標方程為 1 參數(shù)方程是 為參數(shù) 曲線C2的直角坐標方程為 x 1 2 y2 1 曲線C2中 因為 2cos 所以 2 2 cos 所以x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 設(shè)C1上任意點P所以P到C2圓心 1 0 的距離所以 PQ min 1 名師點睛 1 巧解與三角形知識的綜合問題 1 數(shù)形結(jié)合明確極徑和極角的幾何意義 并表示三角形的有關(guān)元素 2 利用正弦 余弦定理找到變量 的關(guān)系 2 三角換元求最值問題 1 適用情景涉及直線與圓 直線與橢圓位置關(guān)系的最值問題 2 兩種方法 三角換元轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題 轉(zhuǎn)化為普通方程或直角坐標方程 利用直線與圓 橢圓的知識直接解答 考向精煉 1 2018 宜賓二模 在平面直角坐標系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 以平面直角坐標系的原點O為極點 x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系 直線C2的極坐標方程為 sin 1 求曲線C1的極坐標方程 2 設(shè)C1和C2的交點為A B 求 AOB的面積 解析 1 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 消去參數(shù)的C1的直角坐標方程為x2 4x y2 0 所以C1的極坐標方程為 4cos 2 解方程組有4sin cos 得sin2 所以 2k k Z 或 2k k Z 當(dāng) 2k k Z 時 2 當(dāng) 2k k Z 時 2 所以C1和C2交點的極坐標所以S AOB AO BO sin AOB 2 2sin 故 AOB的面積為 2 在直角坐標系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 其中 為參數(shù) 曲線C2 1 以原點O為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號 1 求曲線C1 C2的極坐標方程 2 射線l 0 與曲線C1 C2分別交于點A B 且A B均異于原點O 當(dāng)0 時 求 OB 2 OA 2的最小值 解析 1 曲線C1的普通方程為 x 1 2 y2 1 C1的極坐標方程為 2cos C2的極坐標方程為 1 2cos2 2 2sin2 8 2 1 sin2 8 即 2 2 聯(lián)立 0 與C1的極坐標方程得 OA 2 4cos2 聯(lián)立 0 與C2的極坐標方程得 OB 2 則 OB 2 OA 2 4cos2 4 1 sin2 4 1 sin2 8 當(dāng)且僅當(dāng)sin 時取等號 所以 OB 2 OA 2的最小值為8 8 加練備選 1 2018 沈陽二中一模 在平面直角坐標系xOy中 已知曲線C的參數(shù)方程為 t 0 為參數(shù) 以坐標原點O為極點 x軸的正半軸為極軸 取相同的長度單位建立極坐標系 直線l的極坐標方程為 1 當(dāng)t 1時 求曲線C上的點到直線l的距離的最大值 2 若曲線C上的所有點都在直線l的下方 求實數(shù)t的取值范圍 解析 1 直線l的直角坐標方程為x y 3 0 曲線C x2 y2 1 所以曲線C為圓 且圓心O到直線l的距離d 所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1 2 因為曲線C上的所有點均在直線l的下方 所以對 R 有tcos sin 30 所以解得0 t 2 所以實數(shù)t的取值范圍為 0 2 2 2018 銀川一模 在直角坐標系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 為參數(shù) 曲線C2的參數(shù)方程為 為參數(shù) 以O(shè)為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 1 求曲線C1和曲線C2的極坐標方程 2 已知射線l1 將射線l1順時針旋轉(zhuǎn)得到射線l2 且射線l1與曲線C1交于O P兩點 射線l2與曲線C2交于O Q兩點 求 OP OQ 的最大值 解析 1 曲線C1的直角坐標方程為 x 2 2 y2 4 所以C1的極坐標方程為 4cos 曲線C2的直角坐標方程為x2 y 2 2 4 所以C2的極坐標方程為 4sin 2 設(shè)點P的極坐標為 1 即 1 4cos 點Q的極坐標為即 2 4sin 則 OP OQ 1 2 4cos 4sin 16cos 8sin 4 因為 所以2 當(dāng)2 即 時 OP OQ 取最大值4 3 2017 全國卷 在直角坐標系xOy中 以坐標原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標系 曲線C1的極坐標方程為 cos 4 1 M為曲線C1上的動點 點P在線段OM上 且滿足 OM OP 16 求點P的軌跡C2的直角坐標方程 2 設(shè)點A的極坐標為 點B在曲線C2上 求 OAB面積的最大值 解析 1 設(shè)P的極坐標為 0 M的極坐標為 0 0 0 由題設(shè)知 OP OM 0 由 OM OP 16得C2的極坐標方程 4cos 0 因此C2的直角坐標方程為 x 2 2 y2 4 x 0 2 設(shè)點B的極坐標為 B B 0 由題設(shè)知 OA 2 B 4cos 于是 OAB的面積S OA B sin AOB 4cos 當(dāng) 時 S取得最大值2 所以 OAB面積的最大值為2