三立體幾何 必用必記公式 柱 錐 臺 球的表面積與體積 1 柱體 表面積 S S側(cè) 2S底 體積 V S底h 2 錐體 表面積 S S側(cè) S底 側(cè)面積 S側(cè) rl 體積 V S底h 3 臺體 表面積 S S側(cè) S上底 S下底 側(cè)面積 S側(cè) r r l 體積 V S S h 4 球體 表面積 S 4 R2 體積 V R3 重要性質(zhì)結論 1 直線與平面平行的判定及性質(zhì) 1 線面平行的判定定理 a b a b a 2 線面平行的性質(zhì)定理 a a b a b 2 平面與平面平行的判定及性質(zhì) 1 面面平行的判定定理 a b a b P a b 2 面面平行的性質(zhì)定理 a b a b 3 直線與平面垂直的判定及性質(zhì) 1 線面垂直的判定定理 m n m n P l m l n l 2 線面垂直的性質(zhì)定理 a b a b 4 平面與平面垂直的判定及性質(zhì) 1 面面垂直的判定定理 a a 2 面面垂直的性質(zhì)定理 l a a l a 易錯易混提醒 1 混淆 點A在直線a上 與 直線a在平面 內(nèi) 的數(shù)學符號關系 應表示為A a a 2 在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時 根據(jù)三視圖的規(guī)則 空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線 不可見輪廓線為虛線 在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正 主 視圖和俯視圖為主 3 易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別 幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和 不能漏掉幾何體的底面積 求錐體體積時 易漏掉體積公式中的系數(shù) 4 不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質(zhì)定理 忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件 導致判斷出錯 如由 l m l 易誤得出m 的結論 就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m 的限制條件 5 注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系 對照前后圖形 弄清楚變與不變的元素后 再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關系 易錯診斷 1 某幾何體的三視圖如圖所示 其中圓的半徑均為1 則該幾何體的體積為 A 208 B 216 C 208 D 216 解析 選A 該幾何體為一棱長為6的正方體掏掉一個棱長為2的小正方體 再放置進去一個半徑為1的球 所以體積為63 23 13 208 2 正四棱錐的頂點都在同一球面上 若該棱錐的高為4 底面邊長為2 則該球的表面積為 A B 16 C 9 D 解析 選A 設球的半徑為R 棱錐的高為4 底面邊長為2 所以R2 4 R 2 2 所以R 所以球的表面積為4 3 正四面體A BCD的所有棱長均為12 球O是其外接球 M N分別是 ABC與 ACD的重心 則球O截直線MN所得的弦長為 解析 選C 正四面體A BCD可補全為棱長為6的正方體 所以球O是正方體的外接球 其半徑R 3 設正四面體的高為h 則故OM ON 又MN BD 4 所以O到直線MN的距離為因此球O截直線MN所得的弦長為 4 如圖為一正方體的平面展開圖 在這個正方體中 有下列四個命題 AF GC BD與GC成異面直線且夾角為60 BD MN BG與平面ABCD所成的角為45 其中正確的個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 選B 將正方體紙盒展開圖還原成正方體 如圖知AF與GC異面垂直 故 正確 顯然BD與GC成異面直線 連接MB MD 則BM GC 在等邊 BDM中 BD與BM所成的60 角就是異面直線BD與GC所成的角 故 正確 顯然BD與MN異面垂直 故 錯誤 顯然GD 平面 ABCD 所以在Rt BDG中 GBD是BG與平面ABCD所成的角 Rt BDG不是等腰直角三角形 所以BG與平面ABCD所成的角不是為45 故 錯誤 5 如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD為平行四邊形 AB 2AD 2 PD BD AD 且PD 底面ABCD 若Q為PC的中點 則三棱錐A PBQ的體積為 解析 三棱錐A PBQ的體積VA PBQ與三棱錐A QBC的體積相等 而VA QBC VQ ABC VP ABC VP ABCD 所以三棱錐A PBQ的體積VA PBQ 答案