第三類(lèi)立體幾何問(wèn)題重在 建 建模 建系 立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合 以某個(gè)幾何體為依托 分步設(shè)問(wèn) 逐層加深 解決這類(lèi)題目的原則是建模 建系 建模 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行模型 垂直模型及平面化模型 建系 依托于題中的垂直條件 建立空間直角坐標(biāo)系 利用空間向量求解 例3 2017 全國(guó) 卷 如圖 四面體ABCD中 ABC是正三角形 ACD是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 證明 平面ACD 平面ABC 2 過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E 若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分 求二面角D AE C的余弦值 1 證明由題設(shè)可得 ABD CBD 從而AD DC 又 ACD為直角三角形 所以 ADC 90 取AC的中點(diǎn)O 連接DO BO 則DO AC DO AO 又由于 ABC是正三角形 故BO AC 所以 DOB為二面角D AC B的平面角 建模 在Rt AOB中 BO2 OA2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC 2 解由題設(shè)及 1 知 OA OB OD兩兩垂直 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn) 設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為n1 x1 y1 z1 平面AEC的一個(gè)法向量為n2 x2 y2 z2 探究提高1 1 建模 構(gòu)建二面角的平面角模型 2 建系 以兩兩垂直的直線為坐標(biāo)軸 2 破解策略 立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定 因此 復(fù)習(xí)備考時(shí)往往有 綱 可循 有 題 可依 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中 要加強(qiáng) 一題兩法 幾何法與向量法 的訓(xùn)練 切勿顧此失彼 要重視識(shí)圖訓(xùn)練 能正確確定關(guān)鍵點(diǎn)或線的位置 將局部空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題 能依托于題中的垂直條件 建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 將幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題 訓(xùn)練3 2018 日照一模 如圖所示的幾何體ABCDE中 DA 平面EAB CB DA EA DA AB 2CB EA AB M是線段EC上的點(diǎn) 不與端點(diǎn)重合 F為線段DA上的點(diǎn) N為線段BE的中點(diǎn) 1 證明如圖1 連接MN 因M N分別是線段EC 線段BE的中點(diǎn) 又CB DA MN DA MN FD 所以四邊形MNFD為平行四邊形 FN MD 又FN 平面MBD MD 平面MBD 所以FN 平面MBD 圖1 2 解由已知 分別以AE AB AD所在直線為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz 如圖2 設(shè)CB 1 則A 0 0 0 B 0 2 0 C 0 2 1 D 0 0 2 E 2 0 0 圖2 由已知 平面ABD的一個(gè)法向量為n1 1 0 0 設(shè)平面MBD的法向量為n x y z 解之得 1或 3 又因?yàn)槠矫鍭BD與平面MBD所成二面角為銳角 所以 1