第六類函數與導數問題重在 分 分離 分解 以函數為載體 以導數為工具的綜合問題是高考常考的壓軸大題 多涉及含參數的函數的單調性 極值或最值的探索與討論 復雜函數的零點的討論 不等式中參數范圍的討論 恒成立和能成立問題的討論等 是近幾年高考試題的命題熱點 對于此類綜合試題 一般先求導 再變形或分解出基本函數 再根據題意處理 例6 2017 全國 卷 已知函數f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 證明 f x 存在唯一的極大值點x0 且e 2 f x0 2 2 1 解f x 的定義域為 0 設g x ax a lnx 則f x xg x 分離 f x 0等價于g x 0 因為g 1 0 g x 0 故g 1 0 當01時 g x 0 g x 單調遞增 所以x 1是g x 的極小值點 故g x g 1 0 綜上 a 1 2 證明由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 設h x 2x 2 lnx 分解 因為f x h x 所以x x0是f x 的唯一極大值點 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 因為x x0是f x 在 0 1 的最大值點 由e 1 0 1 f e 1 0得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 探究提高1 1 分離 把函數f x 分離為x與g x 的積 2 分解 構造h x 2x 2 lnx 2 破解策略 函數與導數壓軸題計算復雜 綜合性強 難度大 可以把參變量分離 把復雜函數分離為基本函數 可把題目分解成幾個小題 也可把解題步驟分解為幾個小步 注重分步解答 這樣 即使解答不完整 也要做到盡可能多拿步驟分 訓練6 2018 石家莊調研 已知函數f x 2x b ex F x bx lnx b R 1 若bb對任意x 0 恒成立 求實數b的取值范圍 解 1 f x ex 2x b 2 b 0 F x 0 即F x 在 0 上單調遞減 f x 和F x 在區(qū)間M上具有相同的單調性 2 由F x 1 b得ln x 1 bx 0 g x 在 0 上遞減 g x g 0 0 因此實數b的取值范圍是 1