第四章曲線運動萬有引力與航天 第2講拋體運動 過好雙基關 一 平拋運動1 定義 將物體以一定的初速度沿水平方向拋出 物體只在作用下的運動 2 性質(zhì) 平拋運動是加速度為g的曲線運動 運動軌跡是拋物線 3 研究方法 運動的合成與分解 1 水平方向 直線運動 2 豎直方向 運動 4 基本規(guī)律 如圖1 圖1 重力 勻變速 勻速 自由落體 1 位移關系 2 速度關系 v0t gt 自測1一個物體以初速度v0水平拋出 落地時速度為v 則運動時間為 不計空氣阻力 答案 自測2 多選 某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平拋球 結(jié)果球劃著一條弧線飛到小桶的前方 如圖2所示 不計空氣阻力 為了能把小球拋進小桶中 則下次再水平拋球時 可能做出的調(diào)整為A 減小初速度 拋出點高度不變B 增大初速度 拋出點高度不變C 初速度大小不變 降低拋出點高度D 初速度大小不變 提高拋出點高度 答案 圖2 二 斜拋運動1 定義 將物體以初速度v0或斜向下方拋出 物體只在作用下的運動 2 性質(zhì) 斜拋運動是加速度為g的曲線運動 運動軌跡是 3 研究方法 運動的合成與分解 1 水平方向 直線運動 2 豎直方向 直線運動 4 基本規(guī)律 以斜上拋運動為例 如圖3所示 1 水平方向 v0 x F合x 0 2 豎直方向 v0y F合y mg v0sin 斜向上方 重力 勻變速 拋物線 勻速 勻變速 v0cos 圖3 自測3有A B兩小球 B的質(zhì)量為A的兩倍 現(xiàn)將它們以相同速率沿同一方向拋出 不計空氣阻力 如圖4所示 為A的運動軌跡 則B的運動軌跡是A B C D 解析物體做斜拋運動的軌跡只與初速度的大小和方向有關 而與物體的質(zhì)量無關 A B兩小球的運動軌跡相同 故A項正確 圖4 答案 解析 研透命題點 1 飛行時間 命題點一平拋運動基本規(guī)律的應用 能力考點師生共研 2 水平射程 3 落地速度 4 速度改變量因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g 所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔 t內(nèi)的速度改變量 v g t是相同的 方向恒為豎直向下 如圖5所示 圖5 5 兩個重要推論 1 做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點 如圖6所示 即xB 推導 圖6 2 做平拋運動的物體在任意時刻任意位置處 有tan 2tan 推導 類型1單個物體的平拋運動例1 2017 全國卷 15 發(fā)球機從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球 忽略空氣的影響 速度較大的球越過球網(wǎng) 速度較小的球沒有越過球網(wǎng) 其原因是A 速度較小的球下降相同距離所用的時間較多B 速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大C 速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少D 速度較大的球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離較大 答案 解析 解析由題意知 兩個乒乓球均做平拋運動 則根據(jù)h gt2及vy2 2gh可知 乒乓球的運動時間 下降的高度及豎直方向速度的大小均與水平速度大小無關 故選項A B D均錯誤 由發(fā)出點到球網(wǎng)的水平位移相同時 速度較大的球運動時間短 在豎直方向下落的距離較小 可以越過球網(wǎng) 故C正確 變式1 多選 2017 江西南昌3月模擬 如圖7所示 空間有一底面處于水平地面上的正方體框架ABCD A1B1C1D1 從頂點A沿不同方向平拋一小球 可視為質(zhì)點 關于小球的運動 下列說法正確的是A 落點在A1B1C1D1內(nèi)的小球 落在C1點時平拋的初速度最大B 落點在B1D1上的小球 平拋初速度的最小值與最大值之比是1 C 運動軌跡與AC1相交的小球 在交點處的速度方向都相同D 運動軌跡與A1C相交的小球 在交點處的速度方向都相同 圖7 答案 解析 凡運動軌跡與AC1相交的小球 位移偏轉(zhuǎn)角 相同 設速度偏轉(zhuǎn)角為 由平拋運動規(guī)律有tan 2tan 故 相同 則運動軌跡與AC1相交的小球 在交點處的速度方向都相同 C項正確 同理可知D項錯誤 例2 2017 全國卷 17 如圖8 半圓形光滑軌道固定在水平地面上 半圓的直徑與地面垂直 一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道 并從軌道上端水平飛出 小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關 此距離最大時 對應的軌道半徑為 重力加速度大小為g 答案 解析 圖8 小物塊做平拋運動時 落地點到軌道下端的距離x v1t 變式2如圖9所示為足球球門 球門寬為L 一個球員在球門中心正前方距離球門s處高高躍起 將足球頂入球門的左下方死角 圖中P點 球員頂球點的高度為h 足球做平拋運動 足球可看成質(zhì)點 則 圖9 答案 解析 類型2多個物體的平拋運動1 若兩物體同時從同一高度 或同一點 拋出 則兩物體始終在同一高度 二者間距只取決于兩物體的水平分運動 2 若兩物體同時從不同高度拋出 則兩物體高度差始終與拋出點高度差相同 二者間距由物體的水平分運動和豎直高度差決定 3 若兩物體從同一點先后拋出 兩物體豎直高度差隨時間均勻增大 二者間距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動 4 兩條平拋運動軌跡的相交處只是兩物體的可能相遇處 兩物體必須同時到達此處才會相遇 例3如圖10所示 A B兩小球從相同高度同時水平拋出 經(jīng)過時間t在空中相遇 若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍 則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間為 圖10 答案 解析 變式3在水平路面上做勻速直線運動的小車上有一固定的豎直桿 車上的三個水平支架上有三個完全相同的小球A B C 它們離地面的高度分別為3h 2h和h 當小車遇到障礙物P時 立即停下來 三個小球同時從支架上水平拋出 先后落到水平路面上 如圖11所示 不計空氣阻力 則下列說法正確的是A 三個小球落地時間差與車速有關B 三個小球落地點的間隔距離L1 L2C 三個小球落地點的間隔距離L1L2 答案 解析 圖11 解析落地時間只與下落的高度有關 故A項錯誤 模型1對著豎直墻壁平拋如圖12所示 水平初速度v0不同時 雖然落點不同 但水平位移d相同 t 圖12 命題點二有約束條件的平拋運動模型 能力考點師生共研 例4 多選 從豎直墻的前方A處 沿AO方向水平發(fā)射三顆彈丸a b c 在墻上留下的彈痕如圖13所示 已知Oa ab bc 則a b c三顆彈丸 不計空氣阻力 答案 解析 圖13 模型2斜面上的平拋問題1 順著斜面平拋 如圖14 方法 分解位移 x v0t 圖14 2 對著斜面平拋 如圖15 方法 分解速度 vx v0 vy gt 圖15 例5 多選 2018 陜西西安調(diào)研 如圖16所示 傾角為 的斜面上有A B C三點 現(xiàn)從這三點分別以不同的初速度水平拋出一小球 三個小球均落在斜面上的D點 今測得AB BC CD 5 3 1 由此可判斷 不計空氣阻力 A A B C處三個小球運動時間之比為1 2 3B A B C處三個小球落在斜面上時速度與初速度間的夾角之比為1 1 1C A B C處三個小球的初速度大小之比為3 2 1D A B C處三個小球的運動軌跡可能在空中相交 答案 解析 圖16 解析由于沿斜面AB BC CD 5 3 1 故三個小球豎直方向運動的位移之比為9 4 1 運動時間之比為3 2 1 A項錯誤 斜面上平拋的小球落在斜面上時 速度與初速度之間的夾角 滿足tan 2tan 與小球拋出時的初速度大小和位置無關 因此B項正確 同時tan 所以三個小球的初速度大小之比等于運動時間之比 為3 2 1 C項正確 三個小球的運動軌跡 拋物線 在D點相切 因此不會在空中相交 D項錯誤 變式4 多選 如圖17所示 斜面傾角為 位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對斜面頂點B水平拋出 小球到達斜面經(jīng)過的時間為t 重力加速度為g 空氣阻力不計 則下列說法中正確的是 圖17 答案 解析 模型3半圓內(nèi)的平拋問題 聯(lián)立兩方程可求t 圖18 例6如圖19所示 薄半球殼ACB的水平直徑為AB C為最低點 半徑為R 一個小球從A點以速度v0水平拋出 不計空氣阻力 則下列判斷正確的是A 只要v0足夠大 小球可以擊中B點B v0取值不同時 小球落在球殼上的速度方向和水平方向之間的夾角可以相同C v0取值適當 可以使小球垂直撞擊到半球殼上D 無論v0取何值 小球都不可能垂直撞擊到半球殼上 答案 解析 圖19 解析小球做平拋運動 豎直方向有位移 v0再大也不可能擊中B點 A錯誤 v0不同 小球會落在半球殼內(nèi)不同點上 落點和A點的連線與AB的夾角 不同 由推論tan 2tan 可知 小球落在半球殼的不同位置上時的速度方向和水平方向之間的夾角 也不相同 若小球垂直撞擊到半球殼上 則其速度反向延長線一定經(jīng)過半球殼的球心 且該反向延長線與AB的交點為水平位移的中點 而這是不可能的 故B C錯誤 D正確 變式5如圖20 豎直平面內(nèi)有一段圓弧MN 小球從圓心O處水平拋出 若初速度為va 將落在圓弧上的a點 若初速度為vb 將落在圓弧上的b點 已知Oa Ob與豎直方向的夾角分別為 不計空氣阻力 則 圖20 答案 解析 解析小球水平拋出 其做平拋運動 由平拋運動規(guī)律知 若落到a點 則有Rsin vata 若落到b點 則有Rsin vbtb 例7如圖21所示 小球自樓梯頂?shù)钠脚_上以水平速度v0做平拋運動 所有階梯的高度為0 20m 寬度為0 40m 重力加速度g取10m s2 1 求小球拋出后能直接打到第1級階梯上v0的范圍 命題點三平拋運動的臨界和極值問題 能力考點師生共研 圖21 答案0 v0 2m s 答案 解析 2 求小球拋出后能直接打到第2級階梯上v0的范圍 答案2m s v0 2m s 答案 解析 3 若小球以10 4m s的速度水平拋出 則小球直接打到第幾級階梯上 答案28 答案 解析 解得27 04 n 28 04 故能直接打到第28級階梯上 變式6 2015 新課標全國 18 一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖22所示 水平臺面的長和寬分別為L1和L2 中間球網(wǎng)高度為h 發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點 能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球 發(fā)射點距臺面高度為3h 不計空氣的作用 重力加速度大小為g 若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi) 通過選擇合適的方向 就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上 則v的最大取值范圍是 圖22 答案 解析 解析發(fā)射機無論向哪個方向水平發(fā)射 乒乓球都做平拋運動 當速度v最小時 球沿中線恰好過網(wǎng) 有 當速度v最大時 球斜向右側(cè)臺面兩個角發(fā)射 有 變式7如圖23所示 排球場總長為18m 設球網(wǎng)高度為2m 運動員站在離網(wǎng)3m的線上 正對網(wǎng)向上跳起將球水平擊出 不計空氣阻力 取g 10m s2 1 設擊球點在3m線正上方高度為2 5m處 試問擊球的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不越界 答案見解析 答案 解析 圖23 2 若擊球點在3m線正上方的高度小于某個值 那么無論擊球的速度多大 球不是觸網(wǎng)就是越界 試求這個高度 答案見解析 答案 解析 聯(lián)立解得h3 2 13m 即當擊球高度小于2 13m時 無論球被水平擊出的速度多大 球不是觸網(wǎng) 就是越界 解析設擊球點高度為h3時 球恰好既觸網(wǎng)又壓線 如圖乙所示 課時作業(yè) 1 如圖1 將a b兩小球以不同的初速度同時水平拋出 它們均落在水平地面上的P點 a球拋出時的高度較b球高 P點到兩球起拋點的水平距離相等 不計空氣阻力 與b球相比 a球A 初速度較大B 速度變化率較大C 落地時速度一定較大D 落地時速度方向與其初速度方向的夾角較大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 圖1 2 在一堵豎直高墻前x遠處的高臺上水平拋出A B兩小球 若兩球拋出的初速度vA vB A B兩球分別打到高墻a b兩點 則有 不計空氣阻力 A a點在b點的上方B a點在b點的下方C A球打到a點的速率一定大于B球打到b點的速率D A球打到a點的速率一定小于B球打到b點的速率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2018 福建福州調(diào)研 從距地面h高度水平拋出一小球 落地時速度方向與水平方向的夾角為 不計空氣阻力 重力加速度為g 下列結(jié)論中正確的是C 若小球初速度減為原來的一半 則平拋運動的時間變?yōu)樵瓉淼膬杀禗 若小球初速度減為原來的一半 則落地時速度方向與水平方向的夾角變?yōu)? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 4 2017 廣東佛山二模 2016年起 我國空軍出動 戰(zhàn)神 轟 6K等戰(zhàn)機赴南海戰(zhàn)斗巡航 如圖2 某次戰(zhàn)備投彈訓練 飛機在水平方向做加速直線運動的過程中投下一顆模擬彈 飛機飛行高度為h 重力加速度為g 不計空氣阻力 則以下說法正確的是A 在飛行員看來模擬彈做平拋運動B 模擬彈下落到海平面的時間為C 在飛行員看來模擬彈做自由落體運動D 若戰(zhàn)斗機做加速向下的俯沖運動 此時飛行員一定處于失重狀態(tài) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圖2 答案 解析 解析模擬彈相對于海面做平拋運動 其水平方向做勻速直線運動 因飛機在水平方向做加速運動 所以在飛行員看來模擬彈做的既不是平拋運動 也不是自由落體運動 A C項錯誤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 加速 是指其有一定的加速度 向下 是指其豎直向下的分速度不為0 但其加速度未必有豎直向下的分量 則飛行員不一定處于失重狀態(tài) D項錯誤 5 如圖3所示 窗子上 下沿間的高度H 1 6m 墻的厚度d 0 4m 某人在離墻壁距離L 1 4m 距窗子上沿h 0 2m處的P點 將可視為質(zhì)點的小物件以v的速度水平拋出 小物件直接穿過窗口并落在水平地面上 空氣阻力不計 取g 10m s2 則v的取值范圍是A v 7m sB v 2 3m sC 3m s v 7m sD 2 3m s v 3m s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 圖3 6 如圖4所示 小球由傾角為45 的斜坡底端P點正上方某一位置Q處自由下落 下落至P點的時間為t1 若小球從同一點Q處以速度v0水平向左拋出 恰好垂直撞在斜坡上 運動時間為t2 不計空氣阻力 則t1 t2等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 圖4 7 2017 河南百校聯(lián)盟4月模擬 如圖5所示 斜面體ABC固定在水平地面上 斜面的高AB為m 傾角為 37 且D是斜面的中點 在A點和D點分別以相同的初速度水平拋出一個小球 結(jié)果兩個小球恰能落在地面上的同一點 則落地點到C點的水平距離為 圖5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 8 一階梯如圖6所示 其中每級臺階的高度和寬度都是0 4m 一小球以水平速度v飛出 g取10m s2 空氣阻力不計 欲打在第四臺階上 則v的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 圖6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 如圖7所示 套圈游戲是一項很受兒童歡迎的活動 要求每次從同一位置水平拋出圓環(huán) 套住與圓環(huán)前端水平距離為3m 高為20cm的豎直細桿 即為獲勝 一身高1 4m的兒童從距地面1m高度水平拋出圓環(huán) 圓環(huán)半徑為10cm 要想套住細桿 他水平拋出的速度可能為 g取10m s2 空氣阻力不計 A 7 4m sB 9 6m sC 7 8m sD 8 2m s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 圖7 解析圓環(huán)做平拋運動 圓環(huán)距細桿上端的豎直距離為H 0 8m 又知圓環(huán)在豎直方向做自由落體運動 則有H gt2 解得t 0 4s 圓環(huán)后端與細桿的水平距離為3 2m v1 t 得v1 8m s 圓環(huán)前端與細桿的水平距離為3m v2 t 得v2 7 5m s 所以要想套住細桿 圓環(huán)水平拋出的速度范圍為7 5m s v 8m s 故選C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起 固定在水平面上 如圖8所示 它們的豎直邊長都是底邊長的一半 現(xiàn)有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋 最后落在斜面上 其落點分別是a b c 下列判斷正確的是A 圖中三小球比較 落在a點的小球飛行時間最短B 圖中三小球比較 落在c點的小球飛行過程速度變化最大C 圖中三小球比較 落在c點的小球飛行過程速度變化最快D 無論小球拋出時初速度多大 落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 圖8 速度變化快慢由加速度決定 因為aa ab ac g 則知三個小球飛行過程中速度變化快慢相同 C項錯誤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2018 貴州興義質(zhì)檢 某新式可調(diào)火炮 水平射出的炮彈可視為平拋運動 如圖9 目標是一個剖面為90 的扇形山崖OAB 半徑為R R為已知 重力加速度為g 1 若以初速度v0 v0為已知 射出 恰好垂直打在圓弧的中點C 求炮彈到達C點所用的時間 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圖9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設炮彈的質(zhì)量為m 炮彈做平拋運動 其恰好垂直打在圓弧的中點C時 如圖 由幾何關系可知 其水平分速度和豎直分速度相等 即vy vx v0又vy gt 2 若在同一高地P先后以不同速度射出兩發(fā)炮彈 擊中A點的炮彈運行的時間是擊中B點的兩倍 O A B P在同一豎直平面內(nèi) 求高地P離A的高度 解析設高地P離A的高度為h 則有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 12 如圖10所示 傾角為37 的粗糙斜面的底端有一質(zhì)量m 1kg的凹形小滑塊 小滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù) 0 25 現(xiàn)小滑塊以某一初速度v從斜面底端上滑 同時在斜面正上方有一小球以速度v0水平拋出 經(jīng)過0 4s 小球恰好垂直斜面落入凹槽 此時 小滑塊還在上滑過程中 空氣阻力不計 已知sin37 0 6 cos37 0 8 g取10m s2 求 1 小球水平拋出的速度v0的大小 答案3m s 圖10 解析設小球落入凹槽時豎直速度為vy 則vy gt 10 0 4m s 4m sv0 vytan37 3m s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 2 小滑塊的初速度v的大小 答案5 35m s 解析小球落入凹槽時的水平位移x v0t 3 0 4m 1 2m 小滑塊上滑時 由牛頓第二定律有mgsin37 mgcos37 ma解得a 8m s2 解得v 5 35m s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析