專 題 八1“”填空題是將一個數(shù)學真命題，寫成缺少某語句的不完整形式，要求學生在指定的空位上，將缺少的語句填寫清楚、準確它是一個不完整的陳述句形式，填寫的可以是一個詞語、數(shù)字、符號、數(shù)學語句等同時，填空題又是不要求寫出計算或推理過程，只需將結(jié)論直接寫出的求解題 填空題是一種傳統(tǒng)的題型，也是高考試卷中又一常見題型它的主要作用是考查考生的基礎知識，基本技巧以及分析填問空題概述題、解決問題的能力2. 填空題和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點：其形態(tài)短小精悍、跨度大、知識覆蓋面廣、考查目標集中，形式靈活，答案簡短、明確、具體，評分客觀、公正、準確等由于填空題缺少選擇肢的信息，故解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上但填空題既不用說明理由，又無須書寫過程，因而解選擇題的有關策略、方法有時也適合于填空題填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以填空化題的特點歸為我們熟知的題目或基本題型填空題不需過程，不設中間分，更易失分，因而在解答過程中應力求準確無誤填空題題小，跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題，突出訓練學生準確、嚴謹、全面、靈活運用知識的能力和基本運算能力，突出以圖助算、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計算能力要想又快又準地答好填空題，除直接推理計算外，還要講究一此解題策略，盡量避開常規(guī)解法3 根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：要求學生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關系如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等由于填空題和選擇題相比，缺少選擇肢的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn)要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對一是定量型，二象或者填寫給定填空的數(shù)學是定性型對象的某題的類型，種性質(zhì)，6如：給定二次曲線的準線方程、焦點坐標、離心率等等三是開放型，要求根據(jù)條件探索可能出現(xiàn)的不同結(jié)論，可根據(jù)結(jié)論與部分條件尋求結(jié)論成立的不同的可能的充分條件，或根據(jù)條件與結(jié)論的不確定性，要求重新組合新的命等，這說明了填空題是數(shù)學高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn)4 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴格，考試說明中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”為此在解填空題時要做到：快運算要快，力戒小題大作；穩(wěn)變形要穩(wěn)，不可操之過急；全答案要全，力避殘缺不齊；活解題要活，不要生搬硬套；細審題要細解答填空題的原，不能粗則心大意考點考點1 直接推演法直接推演法直接從題設條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過變形、推理、計算、判斷得到結(jié)論的一種解題方法，稱為直接法它是解填空題的最基本、最常用的方法使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法22111_abcabcabc例1已知正數(shù) ， ， 滿足：，則的最小值為：11112222abcabc對所求式通過同時乘 以后，再乘以 ，然后再將 替換為，并展開重新組合，再利用均值定理分析：求最值考點考點1 直接推演法直接推演法1111 111()221 111()221 222()()()222232 2.abcabcabcabcbbcabcaaaccbb acab cabaccb解析：22222222111132 2.baabcaacbccbacacbabcbabc當且僅當時，等號成立，即，得，所以的最小值為()nn此類試題可歸納為已知關于 個正數(shù)的和 可能各項有不同的系數(shù) ，而求這個具有倒數(shù)關系的和的最值，解答通常是對所求式同時乘一個常數(shù)和此常數(shù)的倒數(shù)，通過整體代換，然后利用均值不【思維啟迪】等式求解87cosABCabcABCABCabC在中， ， ， 是角 ， ， 的對邊， ， 成等差數(shù)列，且，則變試題：2.3874 3sin.731cos7coscossin sincos c1os4 33117272113.1414 ABCBACABCBAabABsinAsinAACABABAB由角 ， ， 成等差數(shù)列，可知又由，可得由正弦定理，得，即又由 可知 ，則 為銳角或鈍角，即，所以解析：或()當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值 或特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等 進行處理，從而得出探求的結(jié)論這樣可大大地簡化推理、論證的過程考點考點2 特值代入法特值代入法16 *1122051611()1200_.nnnnnad ndaaaxxxxxxN若數(shù)列滿足， 為常數(shù) ，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則例2： *111()nnnnnad ndaaaxCN對于滿足， 為常數(shù) ，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，可知常數(shù)列也是調(diào)和數(shù)分列，析：因此可令求解考點考點2 特值代入法特值代入法 *1125201620.11()11.20010Nnnnnnnnad ndaaaxCxCxxxxxx因為滿足， 為常數(shù) ，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以可令，即由，得，于是解析：在數(shù)列問題中，常常會遇到數(shù)列的類型不明確，即對于任何滿足條件的數(shù)列經(jīng)過合理的推理演算都可得到相同的結(jié)論，這時我們可考慮利用滿足條件的特殊數(shù)列參與運算，可大大的優(yōu)【思維啟迪】化解題過程22200()_. CxyRM xyCPROONPMNPONQOM OQ過圓 ：內(nèi)一定點，作一動直線交圓 于兩點 、 ，過坐標原點 作直線于點 ，過點 的切線交直線于點 ，則變試題：222| |.R.t| |RR MNOM OQOMOMPQOPPQOPQOPOMOQ如圖所示，當點與點 重合時，又因為為切線，所以，于是在中，由射影定理，得，解析：故填考點考點3 構(gòu)造構(gòu)造法法構(gòu)造法是數(shù)學解題中富有創(chuàng)造性的思維方法，它要求我們改變思維方向，換一角度去思考，通過分析具體命題，構(gòu)造一些圖形、模型、方程、函數(shù)等，使命題中原來隱晦不清的關系和性質(zhì)，在新的構(gòu)造中清楚地展現(xiàn)出來，從而簡捷地解決原命題1231231000_ABCDAB ACAC ADAB ADSSSABCACDABDSSS 設 、 、 、 是半徑為 的球面上的四個不同點，且滿足，用 ， ， 分別表示、的面積，則的最大值是例3：考點考點3 構(gòu)造構(gòu)造法法()ABACAD根據(jù)已知條件可知，兩兩垂直，由此可聯(lián)想長方體的性質(zhì)同一頂點發(fā)出的三條棱兩兩垂直 ，于是可構(gòu)造長方體，利用球的內(nèi)接長方體的對角線長與球的直徑關分析：系求解222123222222222411(+)2222. 2212ABACADABACADABaACbADcabcSSSabbccaabbcacabc由條件知，兩兩垂直，因此構(gòu)造以，為棱的一個長方體，易知其所有的頂點均在球面上設，則，解析：一般地，如果一個三棱錐同一個頂點所在的三條棱互相垂直，那么就可考慮通過補形，補為一個長方體來解決在立體幾何中，割補法是將復雜的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的立體幾何問題來解決的常用的【思維啟迪】方法之一 2011201120122012_yf xxfxf xafbfabR若函數(shù)在 上可導，且滿足不等式恒成立，且，則 ，變大小關系是試題： 002011201220112.01120122012RF xxf xFxxfxf xxfxf xabxfxf xFxF xFFff令，則由，得 ，則 ，所以在 上為遞增函數(shù)所以，所以，解析：即 考點考點4 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法法對于一些含有幾何背景數(shù)學命題的填空題，若能根據(jù)題目條件的特點，作出符合題意的圖形，做到數(shù)中思形，以形助數(shù)，并通過對圖形的直觀分析、判斷，則往往可以簡捷地得出正確的結(jié)果數(shù)形結(jié)合，能使抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來這種思想是近年來高考的熱點之一，也是解答數(shù)學填空題的一種重要策略 111_(43)0124RRRRyf xx xy yf xxf xxaxf xaf xfxxf xfx設函數(shù)由方程確定，下列結(jié)論正確的是請將你認為正確的序號都填上是 上的單調(diào)遞減函數(shù)；對于任意， 恒成立；對于任意，關于 的方程都有解；存在反函數(shù)，且例 ：對于任意，恒成立考點考點4 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法法xy根據(jù)絕對值的意義同時考慮 ， 的符號將方程轉(zhuǎn)化為幾個不同的方程，然后作出它們的圖象，進而根據(jù)圖象對四個命題分析：進行判斷 222222(0,0)1(0,0)(0,0)1 3 4201 2 3 4xyxyxyxyyxxyf xyxf xxf xx原函數(shù)可化為，其圖象如圖所示，由圖易知均正確對于，同樣由圖易知的圖象全部在直線的上方，即解析：故，即 恒成立填本題解答在去掉方程絕對值可能會分類不準確出現(xiàn)錯誤；在作函數(shù)的圖象時每一段之間的銜接可能處理不當而【出思維啟迪】現(xiàn)錯誤.241|02_xxaxAAxxa如果不等式的解集為 ，且，那么實數(shù) 的取值范圍是變試題：21241|021 1)22yxxyaxAxxaaa令，作兩函數(shù)圖象因為解集，由圖象可知，所以，即解析：，的范圍是考點考點5 等價轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法通過不斷的變化，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題，從而得到正確的結(jié)果2232103240194_ abababaab設實數(shù) 、 滿足，則的最大值是例5：22229432()abxaybxyxy由于所求式具有平方關系，可聯(lián)想距離公式，令，將所求問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，當然不等式組也作相應的等價轉(zhuǎn)化，進而再將問題轉(zhuǎn)化分析：求新的平面區(qū)域內(nèi)的點 ， 到原點的距離的最大值考點考點5 等價轉(zhuǎn)化法等價轉(zhuǎn)化法2222323210324011033,4525.94 xaybababaxyxxyab令，則原不等式組等價于，作出此不等式組約束下的平面區(qū)域，由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的直線與直線的交點到原點的距離最大，即的最大值為 ，即的最大值解析：為本題通過換元將所求問題轉(zhuǎn)化為易于利用距離公式求解的最大值問題，但在轉(zhuǎn)化過程中一定要注意等價性，特別是不要忘記了對不等式【思維啟迪】組的轉(zhuǎn)化2cossin00_xxxaxa已知關于 的方程，若 時方程有解，則 的取值變范圍是試題：2222cossinsinsin115(sin)01501(sin)1224sin124 axxxxxxxax由題知，由 ，得 ，則，即為 的解析：取值范圍考點考點6 特殊問題一般化特殊問題一般化一般化與特殊化是人類認識事物的兩個重要方面，也是解題的兩種基本策略，它們相輔相成，是辯證的統(tǒng)一在多數(shù)場合，特殊問題簡單、直觀，容易認識，容易把握但在有些場合，特殊問題的個別特性可能會掩蓋事物的本質(zhì)屬性，給解題帶來困難，而直接求解相應的一般性問題，反而來得簡便、明快、奇巧 22222(1)(2)(2)(4)(3)(6)13(1)(3)(5)(4)(8)(5)(10)()(7)(9)A.15B.30C.75D.60f xfpqfpf qffffffffffffffff已知函數(shù)滿足：，則的值為 例6：考點考點6 特殊問題一般化特殊問題一般化 *2310()ffff nnN若根據(jù)已知條件可分別求， ，其運算量大，且過程較繁事實上，由于題中出現(xiàn)的是抽象函數(shù)，因此考慮分析：利用賦值法來處理，可首先通過賦值確定的表達式，再根據(jù)所求確定解題方向 *2222122222111333( )(2 )333 .6(21)3(1)(2)(2)(4)1,2,3,4,5(1)(3)30.(3)(6)(4)(8)(5)(10)(5)(7)(9)6 5Nnnnnpnqnf nf n ff nf nfnfnf nfnffffnfffffffffff令，則，則為首項為 ，公比為 等比數(shù)列，所以則，于是令解，得析：賦值法是在高中數(shù)學中主要應用于抽象函數(shù)與二項式定理等中，解題時須將已知條件與所求問題結(jié)合起來分析，找到賦值的突破口，恰當?shù)馁x值能達到快速【思維啟迪】解答的目的112 1 1 23 22 31_2010 20112011 2010+.+的值變：是試題221111111111111n nnnnnn nnnnnnnn nnnnn 因為解析：，1112 1 1 23 22 32010 20112011 20101111()()12231111()()34201020112011 1.2112011110 +.+考點考點7 應用結(jié)論應用結(jié)論“”除課本中的定義、定理和公式外，在平時的訓練中，常常會遇到同一類數(shù)學問題，根據(jù)解答過程所用知識和方法會歸納總結(jié)出實用的結(jié)論這些由高中數(shù)學知識通過應用、縱橫向聯(lián)系 派生 出來的常用的小結(jié)論，那么常常會簡化解題過程，并快捷解決問題，特別在填空題中的作用很大 22log 21 _.nf xxxaa 若函數(shù)是奇函數(shù)，則例7： 0000f xf xxf xxfR因為函數(shù)的定義域為 ，則函數(shù)在處有意義，則可利用結(jié)論：“若奇函數(shù)在處有定分析義，則”：來解答考點考點7 應用結(jié)論應用結(jié)論 22000log 0021 021120111. Rnf xf xf xxf xafaaa根據(jù)函數(shù)的解析式知函數(shù)的定義域為 ，則函數(shù)在處有意義，又為奇函數(shù)，所以，所以，得，即，析所：或以解此結(jié)論通常用于根據(jù)函數(shù)的奇偶性而求含有的參數(shù)問題，解答快【思維啟迪】速、簡單56sin40sin35sin0_ GABCA GAB GBC GCB設 是的重心，且，則 的大小試題為變：056sin40sin35sin056sin40sin35sinsinsinsin111564035sinsinsin5785781cos620 . GGAGBGCA GAB GBC GCABCABCABCakbkckBB由于重心 滿足等式，對于已知等式，所以，同時由正弦定理，故，可取，于是由余弦定理求得，所以解析：shch22sinsin coscos sinshsh chch sh .xxxxxeeeexxyxyxyxyxyxy在技術工程上，常用到雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)，而雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有類似的性質(zhì)，比如關于正、余弦函數(shù)有成立而關于雙曲線正、余弦函數(shù)滿足請運用類比的思想，寫出關于雙曲線正弦、雙曲線余弦的一個新備選例題：關系式.shsinchcosshsh chch shchch chsh shsh22shchxxxxxyxyxyxyxyxyxxx類比，類比，本題是一個開放性填空，答案不唯一，有如下情形：，解析：等()()填空題是介于選擇題與解答題之間的一種題型，它既有選擇題的小、活、廣，又有解答題推理及精密運算，考查全面的特點能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數(shù)學填空題的關鍵，因此，在解題過程中可選用選擇題、解答題的有效方法靈活解題，以達到正確、合理、迅速的目的數(shù)學填空題，絕大多數(shù)是計算型 尤其是推理計算型 和概念 性質(zhì) 判斷型的試題，解答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷因此在平時的備考訓練時要注意以下幾點： 123解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求由于高考中填空題處在選擇題和解答題中間，往往學生在做完選擇題后解答填空題時會有一些浮躁的心理，為了爭取有更多的時間做解答題，急于得到答案，會大大降低填空題的解題正確率和速度，所以平時要做相應的心理訓練高考的填空題最容易出現(xiàn)一些所謂“”的 創(chuàng)新題 ，所以應該作專題復習和限時專題訓練1 123493456725456789 10491.(2011) 觀察陜西卷下列等式：照.n此規(guī)律，第 個等式應為21.1 111234923345 nn把已知等式與行數(shù)對應起來，則每一個等式的左邊的式子的第一個數(shù)是行數(shù) ，加數(shù)的個數(shù)是；等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù)等號左邊的項數(shù)解析：22672535456789 10494712112113221 . nnnnnnnnn所以，即2()(01.(20).11ab baxxcax baxxcabcbax商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價 ，最高銷售限價 以及常數(shù) 來確定實際銷售價格，這里， 被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù) 恰好使得是和的等比中項，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù) 的值等于福建卷 22222()()015115.2.201 cabcbacabcbacabacabacax bacax baxbabax babababaxxxxx因為是和的等比中項，所以，所以， ，又因為，所以，代入 ，得，由于 ，即，所以，解得由 ，知解析：