第第1講講不等關系與一元二次不等式不等關系與一元二次不等式考試要求考試要求1.現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關系、不等式(組)的實際背景，A級要求；2.從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系，B級要求；3.求解一元二次不等式，C級要求.知 識 梳 理1.兩個實數(shù)比較大小的方法2.不等式的性質(zhì)3.三個“二次”間的關系Rx|x1xx2 診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)2.(2016南通調(diào)研)已知ab0，給出下列四個不等式：答案3.(2015廣東卷)不等式x23x40的解集為_(用區(qū)間表示).解析由x23x40，得x23x40，解得4x1.答案(4，1)4.已知不等式x22xk210對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_.5.(蘇教版必修5P80T8(1)改編)若關于x的一元二次方程x2(m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是_.考點一不等式的性質(zhì)及應用答案規(guī)律方法判斷多個不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性質(zhì)，逐個驗證；二是用特殊法排除.而常見的反例構成方式可從以下幾個方面思考：(1)不等式兩邊都乘以一個代數(shù)式時，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負數(shù)或0；(2)不等式左邊是正數(shù)，右邊是負數(shù)，當兩邊同時平方后不等號方向不一定保持不變；(3)不等式左邊是正數(shù)，右邊是負數(shù)，當兩邊同時取倒數(shù)后不等號方向不變等.答案考點二一元二次不等式的解法微題型1不含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例21】 (1)(2015江蘇卷)不等式2x2x4的解集為_.答案(1)x|1x2(2)x|x1規(guī)律方法解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標準形式；(2)確定判別式的符號；(3)若0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若0，則對應的二次方程無根；(4)結合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集.微題型2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例22】 解關于x的不等式ax222xax(aR).規(guī)律方法含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應方程)根的大小，對參數(shù)進行分類討論：(1)若二次項系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進行討論；若不易分解因式，則可對判別式進行分類討論；(2)若二次項系數(shù)為參數(shù)，則應先考慮二次項是否為零，然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對相應方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集.【訓練2】 (1)(2016蘇北四市模擬)已知函數(shù)f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1，3)，則不等式f(2x)0的解集是_.(2)解關于x的不等式kx22xk0(kR).考點三一元二次不等式的恒成立問題【例3】 設函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對于一切實數(shù)x，f(x)0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對于x1，3，f(x)m5恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.規(guī)律方法(1)在解決不等式ax2bxc0(或0)對于一切xR恒成立問題時，當二次項系數(shù)含有字母時，需要對二次項系數(shù)a進行討論，并研究當a0時是否滿足題意.(2)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.【訓練3】 (1)設f(x)mx2mx1，求使f(x)0，且|m|1恒成立的x的取值范圍. (2)已知f(x)x22ax2(aR)，當x1，)時， f(x)a恒成立，求a的取值范圍.思想方法1.比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差變形判斷正負.2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的填空題，用特殊值驗證的方法更簡單.3.“三個二次”的關系是解一元二次不等式的理論基礎；一般可把a0的情況轉化為a0時的情形.4.(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù). 一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍， 誰就是參數(shù).易錯防范1.對于不等式ax2bxc0，求解時不要忘記討論a0時的情形.2.當0(a0)的解集為R還是 ，要注意區(qū)別.3.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標準，避免盲目討論.