7 3 壓軸大題2 直線與圓錐曲線 1 解析幾何綜合題的宏觀思想 1 做好 幾何條件代數(shù)化 坐標化 把幾何條件用點的坐標及所設(shè)參量k表示 2 認準基本變量 常用的基本量有 1 斜率k 2 點的坐標 3 會借助中間過度量 求解解析幾何題一定要考慮基本量是什么 中間量是什么 如何將中間量轉(zhuǎn)化為基本量 幾何條件如何坐標化 2 求解圓錐曲線標準方程的方法是 先定型 后計算 1 定型 就是指定類型以及圓錐曲線的焦點位置 從而設(shè)出標準方程 2 計算 一般利用待定系數(shù)法求出方程中的a2 b2或p 另外 當焦點位置無法確定時 橢圓常設(shè)為mx2 ny2 1 m 0 n 0 雙曲線常設(shè)為mx2 ny2 1 mn 0 拋物線常設(shè)為y2 2ax或x2 2ay a 0 3 橢圓與雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2 By2 1 其中A B是不相等的常數(shù) 當A B 0時 表示焦點在y軸上的橢圓 當B A 0時 表示焦點在x軸上的橢圓 當AB 0時 表示雙曲線 3 在橢圓焦點三角形PF1F2中 F1PF2 4 直線與圓錐曲線位置關(guān)系與 的關(guān)系設(shè)直線l Ax By C 0 圓錐曲線C f x y 0 由消去y 或消去x 得ax2 bx c 0 若a 0 b2 4ac 則 0 相交 0 相離 0 相切 若a 0 得到一個一次方程 則 C為雙曲線時 則l與雙曲線的漸近線平行 C為拋物線時 則l與拋物線的對稱軸平行 5 直線與圓錐曲線相交時的弦長 1 直線方程的設(shè)法 已知直線過定點 x0 y0 設(shè)直線方程為y y0 k x x0 若已知直線的縱截距為 0 b 設(shè)直線方程為y kx b 若已知直線的橫截距為 a 0 設(shè)直線方程為x ty a 2 弦長公式 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A x1 y1 B x2 y2 時 2 如下圖 直線AB過焦點F 2 AMF MAB 2 BNF NBA 360 又 MAB NBA 180 AMF BNF 90 MFN 90 得結(jié)論 MFN 90 點F在以MN為直徑的圓上 3 若E為線段MN的中點 點G為線段AB的中點 則 EG AB 得結(jié)論 點E在以AB為直徑的圓上 AEB 90 結(jié)論 連接AN交x軸于點T 則T為原點O 證明如下 8 定值 定點問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量 那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 這些直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個點 就是要求的定點 解決這類問題的關(guān)鍵就是引進參數(shù)表示直線方程 數(shù)量積 比例關(guān)系等 根據(jù)等式的恒成立 數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量 7 3 1直線與圓及圓錐曲線 考向一 考向二 考向三 求軌跡方程例1 1 已知過點A 0 2 的動圓恒與x軸相切 設(shè)切點為B AC是該圓的直徑 求點C軌跡E的方程 2 已知圓M x 1 2 y2 1 圓N x 1 2 y2 9 動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切 圓心P的軌跡為曲線C 求C的方程 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得1 如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系 設(shè)出動點坐標 直接利用等量關(guān)系建立x y之間的關(guān)系F x y 0 就得到軌跡方程 2 若動點的軌跡符合某已知曲線的定義 可直接設(shè)出相應(yīng)的曲線方程 用待定系數(shù)法或題中所給幾何條件確定相應(yīng)系數(shù) 從而求出軌跡方程 考向一 考向二 考向三 對點訓練1 1 已知點P 2 2 圓C x2 y2 8y 0 過點P的動直線l與圓C交于A B兩點 線段AB的中點為M O為坐標原點 求M的軌跡方程 2 設(shè)圓x2 y2 2x 15 0的圓心為A 直線l過點B 1 0 且與x軸不重合 l交圓A于C D兩點 過B作AC的平行線交AD于點E 證明 EA EB 為定值 并寫出點E的軌跡方程 考向一 考向二 考向三 解 1 圓C的方程可化為x2 y 4 2 16 所以圓心為C 0 4 半徑為4 故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 所以M的軌跡方程是 x 1 2 y 3 2 2 2 證明因為 AD AC EB AC 故 EBD ACD ADC 所以 EB ED 故 EA EB EA ED AD 又圓A的標準方程為 x 1 2 y2 16 從而 AD 4 所以 EA EB 4 由題設(shè)得A 1 0 B 1 0 AB 2 考向一 考向二 考向三 例2 2018山東濰坊三模 理20節(jié)選 已知M為圓O x2 y2 1上一動點 過點M作x軸 y軸的垂線 垂足分別為A B 連接BA延長至點P 使得 PA 2 記點P的軌跡為曲線C 1 求曲線C的方程 2 略 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得如果動點P的運動是由另外某一點Q的運動引發(fā)的 而該點坐標滿足某已知曲線方程 則可以設(shè)出P x y 用 x y 表示出相關(guān)點Q的坐標 然后把Q的坐標代入已知曲線方程 即可得到動點P的軌跡方程 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 直線和圓的綜合例3 2018全國卷2 理19 設(shè)拋物線C y2 4x的焦點為F 過F且斜率為k k 0 的直線l與C交于A B兩點 AB 8 1 求l的方程 2 求過點A B且與C的準線相切的圓的方程 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得處理直線與圓的綜合問題 要特別注意圓心 半徑及平面幾何知識的應(yīng)用 如經(jīng)常用到弦心距 半徑 弦長的一半構(gòu)成的直角三角形 利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題 往往使問題簡化 考向一 考向二 考向三 對點訓練3已知拋物線C y2 2x 過點 2 0 的直線l交C于A B兩點 圓M是以線段AB為直徑的圓 1 證明 坐標原點O在圓M上 2 設(shè)圓M過點P 4 2 求直線l與圓M的方程 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解題心得在已知直線與圓錐曲線相交求某個量的值的題目中 一般需要將題目中的已知條件轉(zhuǎn)化成交點坐標之間的關(guān)系 通過聯(lián)立直線與曲線的方程 解出點的坐標 從而構(gòu)成關(guān)于所求量的方程 解方程得之 考向一 考向二 考向三 對點訓練4在平面直角坐標系xOy中 已知橢圓C1 a b 0 的左焦點為F1 1 0 且點P 0 1 在C1上 1 求橢圓C1的方程 2 設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2 y2 4x相切 求直線l的方程 解 1 因為橢圓C1的左焦點為F1 1 0 點P 0 1 在C1上 所以c 1 b 1 所以a2 b2 c2 2 所以橢圓C1的方程為 考向一 考向二 考向三