專題九選做大題 9 1坐標(biāo)系與參數(shù)方程 選修4 4 1 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點 x軸的非負(fù)半軸作為極軸 并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點 它的直角坐標(biāo)是 x y 極坐標(biāo)為 則它們之間的關(guān)系為x cos y sin 另一種關(guān)系為 2 x2 y2 tan x 0 2 直線的極坐標(biāo)方程若直線過點M 0 0 且此直線與極軸所成的角為 則它的方程為 sin 0sin 0 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程 1 直線過極點 0和 0 2 直線過點M a 0 且垂直于極軸 cos a 考向一 考向二 考向三 考向四 曲線方程的三種形式間的互化例1在直角坐標(biāo)系xOy中 曲線C1的參數(shù)方程為 t為參數(shù) a 0 在以坐標(biāo)原點為極點 x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中 曲線C2 4cos 1 說明C1是哪一種曲線 并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程 2 直線C3的極坐標(biāo)方程為 0 其中 0滿足tan 0 2 若曲線C1與C2的公共點都在C3上 求a 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2 y 1 2 a2 C1是以 0 1 為圓心 a為半徑的圓 將x cos y sin 代入C1的普通方程中 得到C1的極坐標(biāo)方程為 2 2 sin 1 a2 0 2 曲線C1 C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若 0 由方程組得16cos2 8sin cos 1 a2 0 由已知tan 2 可得16cos2 8sin cos 0 從而1 a2 0 解得a 1 舍去 a 1 a 1時 極點也為C1 C2的公共點 在C3上 所以a 1 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 無論是將參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程 還是將極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程 都要先化為直角坐標(biāo)方程 再由直角坐標(biāo)方程化為需要的方程 2 求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時 可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程求解 若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示 則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo) 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓(xùn)練1 2018河北唐山一模 22 在直角坐標(biāo)系xOy中 圓C1 x 1 2 y2 1 圓C2 x 3 2 y2 9 以坐標(biāo)原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 由x cos y sin 可得 C1 2cos2 2sin2 2 cos 1 1 所以 2cos C2 2cos2 2sin2 6 cos 9 9 所以 6cos 考向一 考向二 考向三 考向四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例2在直角坐標(biāo)系xOy中 直線C1 x 2 圓C2 x 1 2 y 2 2 1 以坐標(biāo)原點為極點 x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 1 求C1 C2的極坐標(biāo)方程 2 若直線C3的極坐標(biāo)方程為 R 設(shè)C2與C3的交點為M N 求 C2MN的面積 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得直線與曲線相交的交點間的長度在極坐標(biāo)系中易表達(dá)且形式簡單 當(dāng)然求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時 可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程求解 若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示 則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo) 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓(xùn)練2 2018江蘇卷 23 在極坐標(biāo)系中 直線l的方程為 sin 2 曲線C的方程為 4cos 求直線l被曲線C截得的弦長 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 參數(shù)方程的應(yīng)用 1 求C和l的直角坐標(biāo)方程 2 若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為 1 2 求l的斜率 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得在過定點P0 x0 y0 的直線的參數(shù)方程中 參數(shù)t的幾何意義是定點P0 x0 y0 到直線上的點P的數(shù)量 若直線與曲線交于兩點P1 P2 則 P1P2 t1 t2 P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為 t1 t2 若點P為P1P2的中點 則t1 t2 0 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 求動點軌跡的參數(shù)方程 1 求 的取值范圍 2 求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得求動點軌跡的參數(shù)方程就是用參數(shù)表示出動點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo) 注意參數(shù)的取值范圍 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓(xùn)練4已知動點P Q都在曲線C t為參數(shù) 上 對應(yīng)參數(shù)分別為t 與t 2 0 2 M為PQ的中點 1 求M的軌跡的參數(shù)方程 2 將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為 的函數(shù) 并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 求動點軌跡的極坐標(biāo)方程例5在直角坐標(biāo)系xOy中 以坐標(biāo)原點為極點 x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線C1的極坐標(biāo)方程為 cos 4 1 M為曲線C1上的動點 點P在線段OM上 且滿足 OM OP 16 求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程 2 設(shè)點A的極坐標(biāo)為 點B在曲線C2上 求 OAB面積的最大值 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解 1 設(shè)P的極坐標(biāo)為 0 M的極坐標(biāo)為 1 1 0 由題設(shè)知 OP OM 1 由 OM OP 16得C2的極坐標(biāo)方程 4cos 0 因此C2的直角坐標(biāo)方程為 x 2 2 y2 4 x 0 2 設(shè)點B的極坐標(biāo)為 B B 0 由題設(shè)知 OA 2 B 4cos 于是 OAB面積 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 解題心得在求動點軌跡方程時 如果題目有明確要求 求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程 那么就按要求做 如果沒有明確的要求 那么三種形式的方程寫出哪種都可 哪種形式的容易求就寫哪種 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五